Вращение твёрдого тела

Вращение твердого тела

Лекция № 10 Вращение твердого тела.

10/04/2012

Алексей Викторович Гуденко

Уравнение движения

План лекции.

Уравнение движения и равновесия твёрдого тела. Вращение тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела. Кинетическая энергия тела при плоском движении. Применение законов динамики твёрдого тела: скатывание тел с наклонной плоскости, маятник Максвелла. Гироскопы

Виды движения твёрдого тела

Поступательное движение.

Абсолютно твёрдое тело – это тело, деформациями которого в условиях данной задачи можно пренебречь Поступательное движение – это такое движение, при котором тело перемещается параллельно самому себе. Все точки тела при этом имеют одинаковую скорость и описывают одинаковые траектории, смещённые по отношению друг к другу. Примеры поступательного движения: стрелка компаса, при перемещении компаса в горизонтальной плоскости; кабина на колесе обозрения

Вращательное движение твёрдого тела

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на в плоскости, перпендикулярной оси вращения (ось вращения может находиться и вне тела). Угловые скорости всех точек ? одинаковы. ? направлена вдоль оси вращения в соответствие с правилом буравчика. Линейные скорости точек: v = ? х r, где r – радиус-вектор, проведённый из любой точки оси.

Плоское движение твёрдого тела

Любое движение твёрдого тела – это суперпозиция поступательного и вращательного движений. При плоском движении все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. Пример плоского движения – качение цилиндра. Скорость каждой точки цилиндра: v = v0 + ?xr (v0 – скорость оси)

Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси

Lz = ?rimivi = ??miri2 = Iz? Iz = ?miri2 = ?r2dm – момент инерции твёрдого тела относительно оси z. Mz – z-проекция момента внешних сил Основное уравнение динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси Lzd?/dt = Mz

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела

Работа момента сил.

Кинетическая энергия вращающегося тела K = ?mivi2/2 = ??mi(?ri)2 = Iz?2/2 = Lz2/2I = ? Lz ?. В общем случае K = ? (L?) Работа внешней силы при повороте: dA = (Fds) = Frd? = Mzd?

Плоское движение

твёрдого тела.

Плоское движение есть суперпозиция движения центра масс и вращательного в системе центра масс Движение центра масс определяется внешними силами по закону Ньютона. Вращательное движение определяется моментом внешних сил

Свойства момента инерции

Момент инерции – скалярная аддитивная величина. Теорема Гюйгенса – Штейнера: момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции IC относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния a до центра масс: I = Ic + ma2 Доказательство: по теореме Кёнига для кинетической энергии: K = I?2/2 = mvc2/2 + Ic?2/2 = m(?a)2/2 + Ic?2/2 = ? (ma2 + Ic)?2 ? I = Ic + ma2

Теорема о взаимно перпендикулярных осях

Момент инерции плоского тела относительно произвольной оси z, перпендикулярной его плоскости, равен сумме моментов относительно двух взаимно перпендикулярных осей x и y, лежащих в плоскости тела и пересекающихся с осью z: Iz = Ix + Iy

Моменты инерции различных тел

Тонкий обруч, полый цилиндр (относительно оси симметрии): I = mr2 Диск: I = ? mr2 Тонкий длинный стержень: I = 1/12 mL2 – относительно середины; I = 1/3 mL2 - относительно конца Плоский прямоугольник (параллелепипед): I = 1/12 m(a2 + b2) Сфера: I = 2/3 mr2 Шар: I = 2/5 mr2 Толстый цилиндр: I = ? m(r2 + R2)

Скатывание с наклонной плоскости

С каким ускорением скатывается цилиндр (круглое тело) с наклонной плоскости. Решение: уравнение моментов относительно мгновенной оси: IAd?/dt = MA ? IAa = MAr ? a = mgr2sin?/IA = gsin?/(1 + Ic/mr2) Труба: a = ?gsin? Сплошной цилиндр: a = 2/3 gsin? Полый шар: a = 3/5 gsin? Сплошной шар: a = 5/7 gsin?

Диск Максвелла

R = 10 см; r = 0,5 см. С каким ускорением опускается диск. Решение: IAd?/dt =MA ? IAd?r/dt =MAr ? IAdv0/dt =MAr ? a = mgr2/IA = g/(1 + R2/2r2) ? g/200 ? 5 см/с2

Свободные оси

Главные оси.

Ось вращения, направление которой в пространстве остаётся неизменным без действия на неё внешних сил, называется свободной осью. Главные оси - три свободных взаимно перпендикулярных оси, проходящие через центр масс. При вращении вокруг главной оси L1 = I?1 Для произвольной оси: L = I1?1 + I2?2 + I3?3 Все оси симметрии твёрдого тела являются главными осями инерции.

Моменты инерции

Особенности вращения шаровых, симметричных и асимметричных волчков.

Главными называются моменты инерции относительно главных осей. Шаровой волчок: I1 = I2 = I3. Любая ось, проходящая через центр масс – свободная (шар, куб) I1 = I2 ? I3 – симметричный волчок (диск, стержень) – при внешнем воздействии устойчиво вращается вокруг оси с наибольшим I I1 ? I2 ? I3 - асимметричный волчок (параллелепипед) – устойчиво вращается вокруг осей с Imax и Imin I = I1cos2? + I2cos2? + I3cos2? - момент инерции относительно произвольной оси.

Гироскоп

Гироскоп – твёрдое тело, быстро вращающееся относительно оси симметрии. Гироскопическое приближение: L = I0? или скорость прецессии ? << ?. Уравновешенный гироскоп (M = 0) сохраняет своё направление в пространстве. Вынужденная прецессия: M ? 0 ? dL = Mdt ? Lsin?d? = mga sin? dt ? скорость прецессии ? = d?/dt = mga/I0? – не зависит от угла наклона оси гироскопа.

Применение гироскопов

В морской и авиа навигиции: гирогоризонт, гирокомпас – гироскоп в кардановом подвесе сохраняет своё направление. Стабилизация артиллеристского снаряда (в нарезном орудии) – вращающийся снаряд не кувыркается.

Условие равновесие твёрдого тела

Тело будет оставаться в покое, если: Равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю: F = ?Fi = 0 Суммарный момент сил относительно любой точки равен нулю: M = ?Mi = 0

Вращение твёрдого тела

Кинетическая энергия вращающегося тела.

Поступательное движение v – линейная скорость a = dv/dt – линейное ускорение m – масса p = mv – импульс F - сила dp/dt = ma = mdv/dt = F K = mv2/2 = p2/2m dA = Fds

Вращательное движение ? – угловая скорость ? = d?/dt – угловое ускорение I – момент инерции Lz = I?z – момент импульса M – момент силы dL/dt = I? = Id?/dt = M K = I?2/2 = Lz2/2I dA = Md?