№ | Слайд | Текст |
1 |
 |
МОУ скугареевская средняя общеобразовательная школа |
2 |
 |
Содержание1 История развития геометрии пирамиды 2 Элементы пирамиды 3 Развёртка пирамиды 4Свойства пирамиды 5Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами 6.1 Сфера 6.2 Конус 6.3 Цилиндр 6Формулы, связанные с пирамидой 7Особые случаи пирамиды 8.1 Правильная пирамида 8.2 Прямоугольная пирамида 8.3 Усечённая пирамида 8 Связанные определения 9 Интересные факты |
3 |
 |
Что такое пирамидаПирамида (др.-греч. ???????, род. п. ?????????) — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину[1]. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса. |
4 |
 |
Виды пирамид |
5 |
 |
История развития геометрии пирамидыНачало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды был Демокрит [2], а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид, систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке. |
6 |
 |
Элементы пирамидыАпофема — высота боковой грани правильной пирамиды [3]; боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды; боковые ребра — общие стороны боковых граней; вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания; высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра); диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания; основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды |
7 |
 |
|
8 |
 |
Свойства пирамидыВсе диагонали пирамиды принадлежат её граням. Если все боковые ребра равны, то: около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр; боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы. Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то: в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр; высоты боковых граней равны; площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани |
9 |
 |
|
10 |
 |
Развертка пирамидыРазвёрткой многогранной поверхности называется плоская фигура, получаемая последовательным совмещением всех граней поверхности с плоскостью. Так как все грани многогранной поверхности изображаются на развёртке в натуральную величину, построение её сводится к определению величины отдельных граней поверхности — плоских многоугольников. Существует три способа построения развёртки многогранных поверхностей: Способ нормального сечения; Способ раскатки; Способ треугольника. При построении развёртки пирамида применяется способ треугольника. Развёртка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников — граней пирамиды и многоугольника — основания. Поэтому построение развёртки пирамиды сводится к определению натуральной величины основания и граней пирамиды. Грани пирамиды можно построить по трём сторонам треугольников, их образующих. Для этого необходимо знать натуральную величину рёбер и сторон основания. Определение истинной величины основания и рёбер пирамиды |
11 |
 |
Алгоритм построенияОпределяют натуральную величину основания пирамиды (например методом замены плоскостей проекций); Определяют истинную величину всех рёбер пирамиды любым из известных способов (в данном примере натуральная величина всех рёбер пирамиды определена методом вращения вокруг оси перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций и проходящей через вершину пирамиды S); Строят основание пирамиды и по найденным трём сторонам строят какую-либо из боковых граней, пристраивая к ней следующие. Точки, расположенные внутри контура развёртки, находят во взаимно однозначном соответствии с точками поверхности многогранника. Но каждой точке тех рёбер, по которым многогранник разрезан, на развёртке соответствуют две точки, принадлежащие контуру развёрт |
12 |
 |
Теоремысвязывающие пирамиду с другими геометрическими телами. |
13 |
 |
Сфераоколо пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Как следствие из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу; в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы. |
14 |
 |
КонусКонус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие); Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие); Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой. |
15 |
 |
ЦилиндрЦилиндр называется вписанным в пирамиду, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Причём вписать цилиндр в пирамиду можно только тогда, когда в основании пирамиды — описанный многоугольник (необходимое и достаточное условие); Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания цилиндра. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие). |
16 |
 |
Формулысвязанные с пирамидой. Объём пирамиды может быть вычислен по формуле: где S — площадь основания и h — высота; Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней: Полная поверхность — это сумма боковой поверхности и площади основания: Sp = Sb + So Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы: где a — апофема боковой грани, P — периметр основания, n — число сторон основания, b — боковое ребро, ? — плоский угол при вершине пирамиды |
17 |
 |
Особые случаи пирамидыПравильная пирамида Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами: боковые ребра правильной пирамиды равны; в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники; в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу; если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна ?, а каждый из них соответственно , где n — количество сторон многоугольника основания[6]; площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. |
18 |
 |
Прямоугольная пирамидаПирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды. |
19 |
 |
Усечённая пирамидаУсечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между пирамидой и секущей плоскостью, параллельной её основанию. |
20 |
 |
Треугольная пирамида Связанные определения Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существуют большое различие в понятиях правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр. |
21 |
 |
Интересные фактыИнтересные факты Формула для расчёта объёма усечённой пирамиды была выведена раньше чем для полной. |
«Фигура пирамида» |