Как находить площадь многоугольника

Площадь многоугольника

Урок изучения нового материала

Оборудование

Компьютер Мультипроектор Мел, доска

Цели урока

Сформировать понятие площади многоугольника, рассмотреть основные свойства площадей, вывести формулу площади прямоугольника; закрепить изученные формулы в ходе решения задач Развитие логического мышления Привитие интереса к предмету геометрии

Содержание

1.Оргмомент 2.Мозговой штурм 3. Для чего нужно уметь измерять и вычислять площади фигур 4. Понятие площади 5. Площадь прямоугольника 6. Закрепление 7. Самостоятельная работа 8. Проверка самостоятельной работы 9. Итоги урока 10. Домашнее задание

Мозговой штурм

M

B

C

A

D

К

Через точку во внутренней области равностороннего треугольника проведены две прямые, параллельные двум сторонам треугольника. На какие фигуры разбивается этими прямыми данный треугольник? 2.

•

AM – биссектриса

Параллелограмма ABCD, AD = 2AB.

Докажите, что часть отрезка АМ, лежащая во внутренней области

Параллелограмма ABCD, равна части, лежащей во внешней области.

[ Вк = ав = ? вс ?кс =вк,

?Вка = ?мкс, ?авс = ?мск ? ?авк =?мск ? ак = км.]

Площадь комнаты равна 25 м

Все мы понимаем смысл слов: площадь комнаты равна 25 м? , площадь сада – 6 соткам.С понятием «площадь» и формулами для вычисления площадей некоторых фигур вы уже встречались. Какие это фигуры?

[ Прямоугольник: S = ab; круг: S= ]

Важно ли в жизни уметь измерять и вычислять площади фигур? Как вы думаете, для чего, например?

Площадь поверхности стен в помещении нужно знать, например, для того, чтобы рассчитать необходимое для их покрытия количество обоев, краски или кафеля.

Площадь зеркала водохранилища нужно знать его проектировщикам

в частности, чтобы определить, как станет испаряться из заполненного водохранилища вода.

Площадь поверхности дороги нужно знать, чтобы рассчитать необходимое для её покрытия количества асфальта.

Величина той части плоскости, которую занимает многоугольник

1 м?

Можно сказать, что площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения аналогично измерению длин отрезков. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Если за единицу измерения отрезков принят сантиметр, то за единицу измерения площадей принимают квадрат со стороной 1 см. Такой квадрат называют квадратным сантиметром ( см? )

Понятие площади многоугольника

1 см?

1мм?

1 см

1мм

1м

Какие ещё единицы измерения площадей вы знаете?

[1 га (площадь квадрата со стороной 100 м), 1а ( сотка) 100м? ]

Площадь каждого многоугольника выражается положительным числом

S = 6см?

1см

1см

S ? 2,24 см?

При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выражается положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения площади и её части укладываются в данном многоугольнике.

1 см?

Описанный процесс измерения площадей

S = a?

a

a

Описанный процесс измерения площадей неудобен, поэтому на практике измеряют лишь некоторые связанные с многоугольником отрезки, а затем вычисляют площадь по определённым формулам. Вывод этих формул основан на следующих свойствах площадей

F?

F?

1. Равные многоугольники имеют равные площади.

2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников,то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

S?

S?

S?

3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны

S = S? + S?+ S?

Площадь прямоугольника

a

b

S

a

b

a

a?

S

b

S

b?

a

b

S = ab

Теорема: Площадь прямоугольника равна

Доказать: S = ab

С другой стороны ( a + b )? = S + S + a? + b? . a? + 2ab + b? = 2S + a? + b?.

Произведению его смежных сторон.

Дано: прямоугольник, a, b – стороны, S – площадь.

Доказательство: 1) Достроим прямоугольник до квадрата со стороной а + b.

По свойству (3.) его площадь равна ( a + b )? .

Площадь параллелограмма

В

С

D

А

H

Теорема:

В

С

Дано: ABCD – параллелограмм, AD – основание, ВН – высота.

А

D

H

Доказать: S = AD · BH

Одну из сторон параллелограмма,

Назовём основанием

Например AD,

А перпендикуляр, проведённый из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание,

- высотой параллелограмма. ( ВН – высота)

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

1

Доказательство

S = ah

В

С

А

H

D

К

Пусть площадь параллелограмма равна S. Параллелограмм ABCD состоит из ?ABH и трапеции HBCD,

а прямоугольник HBCK – из трапеции HBCD и ?DCK. Так как ?ABH = ?DCK ( по гипотенузе (АВ = DC) и острому углу ( ?1 = ?2 как соответственные при AB?CD ) ). Значит, , а , но ВС = AD. ? или S = ah, где а – основание, h – высота.

2

1

Площадь треугольника

Доказать:

Следствия:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся, как основания.

Одну из сторон треугольника (АВ) назовём основанием,

тогда СН – высота

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Теорема:

Достроим до параллелограмма.

Доказательство:

D

Закрепление

1

S = 2

S = 4

S = 4

C

В

M

B

C

E

А

D

D

A

Найти: S

Решение:

№ 446

30

30?

10

Найдите

[ т.к ?СМЕ = ?DAE, то

[ CD = 30 : 2 = 15; 15·10=150 ]

= Q ]

Ответы и решения

II вариант а) АВ = х, ВС = х + 5, (х + х + 5)·2 = 46, 2х + 5 = 23, х = 9

I вариант 1.а) Т. к. АD = 2 АВ, то АВ = х, AD = 2x. ( х + 2х)·2 = 48, х = 8.

АВ = 8 см, AD = 16 см

АВ = 9 см, ВС = 14 см

S = 8·16 S = 128 см?

S = 9 · 14, S = 126 см?

б) ?АВМ = ?NCM, ?

Б)?fce =?ADE,?

Итоги урока

1. Что мы понимаем под площадью многоугольника?.

2. Перечислить свойства площадей

3. Чему равна площадь прямоугольника?

4. Чему равна площадь параллелограмма?

5. Чему равна площадь треугольника?

Домашнее задание

П. 48 – 52, № 447, 449(б)