Касательная к окружности

Касательная к окружности

Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности; общая точка называется точкой касания.

Отрезки AK и AM называются отрезками касательных, проведенными из A.

K

O

A

M

Касательная

Точка касания

Касательная к окружности

Свойство + признак: если K – точка окружности, то KM – касательная ? KM ? OK.

K

Пусть d – расстояние от центра O до прямой KM. Тогда

KM – касательная ? d = R.

M

Но R = OK, а d = OK ? OK ? KM, ч.т.д.

Свойство касательной. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Признак касательной. Прямая, проходящая через точку окружности и перпендикулярная к радиусу, проведенному в эту точку, является касательной.

Доказательство

d

d = R

Касательная к окружности

A

Докажем, что если AK и AM – отрезки касательных, то AK = AM, ?OAK = ? OAM

K

M

O

Отрезки касательных, проведенные к окружности из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром.

Доказательство

(По гипотенузе и катету)

? AOK = ? AOM

Поэтому AK = AM, ?OAK = ? OAM .

Касательная к окружности

Построение касательной к окружности через данную на окружности точку K

K

O