Слайды из презентации
«Многообразия» к уроку геометрии на тему «Геометрические тела»
Автор: User.
Чтобы увеличить слайд, нажмите на его эскиз. Чтобы использовать презентацию на уроке,
скачайте файл «Многообразия.ppt» бесплатно
в zip-архиве размером 325 КБ.
Скачать презентацию
№ | Слайд | Текст |
1 |
 |
.Гипотеза пуанкаре и терстона. 1 |
2 |
 |
Двумерные многообразияРис. 1 Пусть и – два множества в евклидовом пространстве произвольной размерности. Если задано отображение , которое каждой точке множества ставит в соответствие точку множества и 1) отображение взаимно-однозначно, то есть различные точки переходят в различные; 2) отображение непрерывно, то есть близкие точки переходят в близкие; 3) обратное отображение непрерывно, то множества и – гомеоморфны, а отображение называется гомеоморфизмом. Например, внутренность круга гомеоморфна всей плоскости (рис.1) 2 |
3 |
 |
Двумерные многообразияРис. 2 Например, поверхность куба гомеоморфна сфере (рис.2) 3 |
4 |
 |
Двумерные многообразияРис. 3 4 |
5 |
 |
Двумерные многообразияРис. 4 5 |
6 |
 |
Двумерные многообразияРис. 5 6 |
7 |
 |
Двумерные многообразияЛюбая компактная двумерная поверхность гомеоморфна либо сфере с p ручками, либо сфере с q листами Мебиуса, причем сферы с ручками не гомеоморфны сферам с листами Мебиуса, так как второй ряд поверхностей образуют неориенти-руемые поверхности. Сферы с различным числом ручек и различным числом листов Мебиуса также негомеоморфны между собой. Рис. 6 7 |
8 |
 |
Двумерные многообразияРис. 7 8 |
9 |
 |
Двумерные многообразияРис.8 9 |
10 |
 |
Двумерные многообразияРис.9 10 |
11 |
 |
Двумерные многообразияРис. 10 11 |
12 |
 |
Фундаментальная группаРис. 11 Две петли и , проходящие через фиксированную точку P , называются гомотопными, если их можно непрерывно деформировать одна в другую. И мы уже можем рассматривать класс гомотопных петель. 12 |
13 |
 |
Трехмерные многообразияРис. 12 13 |
14 |
 |
Трехмерные многообразияРис.13 14 |
15 |
 |
Трехмерные многообразияКаждое компактное ориентируемое 3-мерное многообразие раскладывается в связную сумму где сомножители - замкнутые неприводимые трехмерные многообразия, -декартово произведение окружности на двумерную сферу и в связную сумму входит r –компонент. множители имеют бесконечную фундаментальную группу, множители - конечную фундаментальную группу. 15 |
16 |
 |
Трехмерные многообразияРис. 14 16 |
17 |
 |
Трехмерные многообразияЛюбое трехмерное компактное неприводимое многообразие можно разрезать конечным числом несжимающихся торов на компактные многообразия, границей которых есть торы.Каж-дое из этих многообразий или торонеприводимо или является многообразием Зейферта. Гипотеза Пуанкаре состоит в следующем. Пусть – ком-пактное трехмерное односвязное многообразие (т.е. любая петля на многообразии стягивается в точку). Верно ли, что это многообразие гомеоморфно трехмерной сфере ? 17 |
18 |
 |
Однородные трехмерные геометрииВ трехмерном случае всего 8 стандартных геометрий, которые 1) в окрестности каждой точки выглядят одинаково, пространство является однородным; 2) задаются на односвязном многообразии; 3) и для каждой геометрии существует трехмерное компактное многообразие, на котором она задается. Существование только 8 геометрий приписывается Терстону, но это следует из результатов Бианки. Перечислим их: 1) – метрика стандартной единичной сферы в ; 2) – евклидово пространство; 3) – трехмерное пространство Лобачевского; 18 |
19 |
 |
Однородные трехмерные геометрииМетрики прямого произведения: 4) ; 5) ; Возьмем пространство единичных окружностей в касательных пространствах к плоскости Лобачевского . В нем вводится естественная метрика Сасаки. Универсальное накрывающее пространство и есть 6) ; 7) Nil ; Это трехмерная группа Гейзенберга, состоящая из матриц , 19 |
20 |
 |
Однородные трехмерные геометриикоторые образуют группу относительно операции умножения и на ней задана метрика Sol . Это трехмерная группа, на которой задана метрика . Заметим, что только сфера является односвязным компактным многообразием, на котором задана стандартная геометрия. 20 |
21 |
 |
Геометрическая гипотеза ТерстонаНеприводимое трехмерное замкнутое многообразие разрезается несжимающимися торами на куски, на которых можно задать одну из стандартных геометрий. 21 |
22 |
 |
Поток РиччиПусть есть риманово неприводимо компактное многообразие, на котором в локальных координатах метрика задается в виде 22 |
23 |
 |
Поток Риччиt=0 Рис. 15 23 |
24 |
 |
Поток РиччиРис. 16 24 |
25 |
 |
Поток РиччиРис. 17 25 |
26 |
 |
Поток РиччиРис. 18 26 |
27 |
 |
Поток РиччиРис. 19 Рис. 20 27 |
28 |
 |
Поток РиччиРис. 21 28 |
29 |
 |
Sylvia Nasar and David CruberManifold Destiny. A legendary problem and the battle over who soved it. (The new Yorker.) http://www.newyorker.com/fact/content/articles/060828fa_fact2.21.08.2006г. Русский перевод vadda. http:// vadda.livejournal.com. 29 |
«Многообразия» |