Найти площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции

© Комаров Р.А.

Определение производной:

Найти производную функции по определению:

© Комаров Р.А.

Вставьте вместо *

Определение первообразной:

© Комаров Р.А.

Будут ли первообразными следующие функции

Для функции

© Комаров Р.А.

Рассмотрим следующие чертежи

© Комаров Р.А.

Определение: фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей

своего знака на отрезке [a; b] функции, прямыми x=a, x=b и отрезком [a; b] называется криволинейной трапецией.

© Комаров Р.А.

Указать криволинейные трапеции, ответ обосновать

© Комаров Р.А.

?

Как вычислить площадь данной криволинейной трапеции?

Площадь равна произведению полусуммы оснований трапеции на высоту.

© Комаров Р.А.

Площадь криволинейной трапеции

© Комаров Р.А.

Вычислите площадь криволинейной трапеции 2-мя способами

2) Найдите F(x) и вычислите S по формуле S=F(b)-F(a)

1) Используя формулу площади трапеции из геометрии, получим:

© Комаров Р.А.

Теорема: Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b]

функция, а F – ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b], т.е. S=F(b)-F(a).

Дано: f – функция непрерывная, неотрицательная на отрезке [a; b] криволинейная трапеция Док-ть: S=F(b)-F(a)

© Комаров Р.А.

Доказательство:

Выберем между a и b на оси абсцисс фиксированную точку х и рассмотрим криволинейную трапецию, обозначим ее площадь через S(x).

Каждому х из отрезка [a; b] соответствует вполне определенное значение S(x), то есть S(x) можно назвать- функцией, зависящей от х. х=а, то S(a)=0. Если х=b , то S(b)=S (где S-площадь криволинейной трапеции).

© Комаров Р.А.

Докажем , что

– Это площадь криволинейной трапеции, опирающейся на отрезок[x; x+?x] (площадь фигуры заштрихованной на рисунке)

© Комаров Р.А.

Возьмем прямоугольник, равновеликий этой криволинейной трапеции и с

длиной ?х. Верхнее основание этого прямоугольника пересекает график функции в точке с координатами (с ; f(c)).

© Комаров Р.А.

Найдем С:

Тогда

Таким образом, мы доказали теорему и в дальнейшем площадь криволинейной трапеции будем вычислять по формуле

S=F(b)-F(a)

© Комаров Р.А.

Ответ:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

© Комаров Р.А.

Алгоритм нахождения площади криволинейной трапеции: Изобразить чертеж

и убедится, является ли данная фигура криволинейной трапецией Найти первообразную F(x) Применить формулу S=F(b)-F(a).

© Комаров Р.А.