Объём Скачать
презентацию
<<  Объём геометрических фигур Объёмы многогранников  >>
Объемы пространственных фигур
Объемы пространственных фигур
Вычисление объемов геометрических тел
Вычисление объемов геометрических тел
Содержание урока
Содержание урока
Объём
Объём
Стереометрия
Стереометрия
Равные тела
Равные тела
Понятие объема
Понятие объема
Объём многогранника
Объём многогранника
Тело
Тело
Напомним формулу объёма прямоугольного параллелепипеда
Напомним формулу объёма прямоугольного параллелепипеда
Объем прямоугольного параллелепипеда
Объем прямоугольного параллелепипеда
Объем прямой призмы
Объем прямой призмы
Призма с произвольным основанием
Призма с произвольным основанием
V=abc:2
V=abc:2
Объем цилиндра
Объем цилиндра
Теорема
Теорема
Доказательство
Доказательство
Интегрирование функций
Интегрирование функций
Сечение
Сечение
Приближённое значение
Приближённое значение
Объем наклонной призмы
Объем наклонной призмы
Площадь перпендикулярного ребру сечения
Площадь перпендикулярного ребру сечения
Объем пирамиды
Объем пирамиды
Многоугольник
Многоугольник
Объем конуса
Объем конуса
Конус с объемом
Конус с объемом
Следствие
Следствие
Объем шара
Объем шара
Часть шара
Часть шара
Круги
Круги
Тело, полученное вращением кругового сектора
Тело, полученное вращением кругового сектора
Слайды из презентации «Объёмы пространственных фигур» к уроку геометрии на тему «Объём»

Автор: user. Чтобы увеличить слайд, нажмите на его эскиз. Чтобы использовать презентацию на уроке, скачайте файл «Объёмы пространственных фигур.ppt» бесплатно в zip-архиве размером 557 КБ.

Скачать презентацию

Объёмы пространственных фигур

содержание презентации «Объёмы пространственных фигур.ppt»
СлайдТекст
1 Объемы пространственных фигур

Объемы пространственных фигур

2 Вычисление объемов геометрических тел

Вычисление объемов геометрических тел

с помощью определенного интеграла.

3 Содержание урока

Содержание урока

:

1. Понятие объема

2. Объем прямой призмы

3. Объем цилиндра

4. Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла

5. Объем наклонной призмы

6. Объем пирамиды

7.Объем конуса

8. Объем шара

9. Объем шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора

4 Объём

Объём

ЦЕЛИ УРОКА: Усвоить понятие объёма пространственной фигуры; Запомнить основные свойства объёма; Узнать формулы объёмов пространственных фигур. Раскрытие связи между двумя науками: алгеброй и геометрией. Вывод основной формулы для нахождения объёмов геометрических тел.

5 Стереометрия

Стереометрия

Что изучают.

Стереометрия

Геометрия

Единицы измерения площади плоской фигуры: см?; дм?; м?…

Единицы измерения объемов: см?; дм?; м?…

1 см

1 см

1 см

1 см

1 см

6 Равные тела

Равные тела

имеют равные объемы.

Если тела А , В, С имеют равные размеры, то объемы этих тел – одинаковы.

7 Понятие объема

Понятие объема

Понятие объема в пространстве вводится аналогично понятию площади для фигур на плоскости. Определение 1. Объемом тела называется положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и обладающая следующими свойствами: равные тела имеют равные объемы; при параллельном переносе тела его объем не изменяется; если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей; за единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины; Определение 2. Тела с равными объемами называются равновеликими. Из свойства 2 следует, что если тело с объемом V1 содержится внутри тела с объемом V2, то V1 < V2.

8 Объём многогранника

Объём многогранника

Чтобы найти объём многогранника, нужно разбить его на кубы с ребром, равным единице измерения.

V=20ед.3

9 Тело

Тело

V.

V=V1+V2

Если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей.

V2

V

V1

10 Напомним формулу объёма прямоугольного параллелепипеда

Напомним формулу объёма прямоугольного параллелепипеда

V=abc.

С

b

А

Напомним формулу объёма прямоугольного параллелепипеда.

11 Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда

V=a*b*c

1/10 n

a, b, c-конечные десятичные дроби Каждое ребро разбивается параллельными плоскостями, проведенными через точки деления ребер на равные части длиной 1/10 n. объем каждого полученного кубика будет равен 1/10 3n, т.к. длина ребер этого кубика 1/10 n , то а*10 n; в*10 n; с*10 n Т.к. n?+?, то Vn?V=авс V=a*b*c*10?n* 1/10 3n=a*b*c

12 Объем прямой призмы

Объем прямой призмы

Следствие 1: Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. V=Soc*h, т.к. Sос.=a*b;h=c.

Следствие 2: Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник равен произведению площади основания на высоту. Т.к. ?ABD-1/2 ?АВСД?SABD=?SABCD?VABC=?SABCД*h= =SABD*h

В1

Построим сечение прямоугольного параллелепипеда , проходящее через диагонали верхнего и нижнего оснований

С1

А1

Д1

В

С

А

Д

13 Призма с произвольным основанием

Призма с произвольным основанием

Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

C1

A1 D1 B1

A D B

2. Призма с произвольным основанием: Провели непересекающиеся диагонали оснований :АС, АД, А1С1, А1Д1; получили три треугольных призмы. Vnp=V1+V2+V3=S1*h+S2*h+S3*h=h(S1+S2+S3)=h*Soc

Призма -треугольная: С1Д1, СД- высоты оснований Vnp=VABD+VBDC (?AДC;?BCD- прямоуг-е) ?VABC=SAСD*h+SBCD*h=SABC*h= =?AВ*СD*h

С

С1

B1

C1

А1

D1

h

E1

B

S3

C

A

S2

S1

D

E

14 V=abc:2

V=abc:2

V=Sc

V=Sh

:2

V=abc

:2

V=abc

Ещё раз

15 Объем цилиндра

Объем цилиндра

Призмы, которые вписаны и описаны около цилиндра, и если их основание вписаны и описаны около цилиндра, то высоты этих призм равны высоте самого цилиндра.

h

r

Вписанная призма

h

Описанная призма

r

16 Теорема

Теорема

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту. V=S*h

V=h*S(r)=?R?*h

h

S(r)=?R?

17 Доказательство

Доказательство

Впишем в цилиндр правильную n-угольную призму Fn,а в Fn впишем цилиндр Pn.

Fn=Sn*h где Sn- площадь основания призмы Цилиндр Р содержит призму Fn, которая в свою очередь, содержит цилиндр Pn. Тогда Vn< Sn*h<V (1) Будем увеличивать число n =>Rn=r cos 180/n*r при n ? +? Поэтому: limVn=V Из неравенства (1) следует, что LimSn*h=V Но LimSn=Пr? таким образом V=Пr?h Пr ?=S => V=Sh

Цилиндр P

Призма Fn

Цилиндр Pn

18 Интегрирование функций

Интегрирование функций

Цели :

Научиться применять интегрирование функций в качестве одного из способов решения задач на нахождение объёмов геометрических тел. Развитие логического мышления, пространственного воображения, умений действовать по алгоритму, составлять алгоритмы действий. Воспитание познавательной активности, самостоятельности.

19 Сечение

Сечение

O.

(при х = а и х = b сечение может вырождаться в точку, как, например, при х = а на рисунке). Обозначим площадь фигуры Ф(х) через S(х) и предположим, что S(х) – непрерывная функция на числовом отрезке [a;b].

Дано :тело Т,???, ОХ-ось, ОХ??, ОХ?? ОХ??=a, ОХ??=b, а<b, ?(x)-сечение, ?(x)?OX, ?(x)?OX=x

?

?

Сечение имеет форму круга либо многоугольника для любого х € [a;b]

?(x)

Х

А

Х

В

?(xi)

?(x2)

?(xn)

?(x1)

Разобьем числовой отрезок [a;b] на n равных отрезков Х2-х1=(в-а):n

Если сечение Ф(хi) – круг, то объём тела Ti (заштрихованного на рисунке) приближённо равен объему цилиндра с основанием Фi и высотой Если Ф(хi) – многоугольник, то объём тела Тi приближённо равен объёму прямой призмы с основанием Ф(xi) и высотой ?xi.

B=хn

Х1

Хi-1

Хi

Х2

20 Приближённое значение

Приближённое значение

Х.

Приближённое значение Vn объёма тела Т тем точнее, чем больше n и, следовательно, меньше ?xi V=

?

?

?(x)

a

?Хі

b

21 Объем наклонной призмы

Объем наклонной призмы

Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту

Треугольная призма Т.п. имеет S основания и высоту h. O=OX?(АВС); OX?(АВС); (АВС)||(А1В1С1) ; (А1В1С1)-плоскость сечения: (А1В1С1) ?OX

S(x)-площадь сечения; S=S(x), т.к. (АВС)||(А1В1С1) и ?ABC=?A1B1C1(АА1С1С-параллелограмм?АС=А1С1,ВС=В1С1, АВ=А1В1)

X

B2

A2

h

B1

A1

X

C2

C1

B

O

A

C

22 Площадь перпендикулярного ребру сечения

Площадь перпендикулярного ребру сечения

Объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного ребру сечения.

2. Наклонная призма с многоугольником в основании

S1

V=V1+V2+V3= =S1*h+S2*h+S3*h= =h(S1+S2+S3)=S*h

h

S3

S2

23 Объем пирамиды

Объем пирамиды

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту

O

1. Дана треугольная пирамида

Ox?(авс), ox?(авс)=м; ox?(a1b1c1)=м1

h

Х- абсцисса точки М; S(x)-площадь сечения; S-площадь основания

?ABC??A1B1C1 так, как АВ?А1В1; АС?А1С1; ВС?В1С1 АВ:А1В1=k? ОА:ОА1=k; аналогично ВС:В1С1=АС:А1С1=k; S:S(x)=k?; ?AMO??M1A1O1?OM:OM1=k; ОМ1:ОМ=Х:h k=Х:h; S:S(x)=(Х:h)?=k?

B1

A1

M1

B

C1

S(?)=(S*??):h?

M(х)

A

C

X

24 Многоугольник

Многоугольник

Объем пирамиды, имеющей в основании многоугольник.

S1+ S2+ S3

V=1/3*(S1+ S2+ S3)*h

h

Следствие : Объем усеченной пирамиды, высота которой h, а площади оснований SuS1 , вычисляется по формуле:

?

?

?1

?1

S1

S2

S3

O

М

М1

25 Объем конуса

Объем конуса

Теорема.

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Х

O

Х

h

М1

A1

М

R

A

R1

26 Конус с объемом

Конус с объемом

Доказательство.

Дано: конус с объемом V, радиусом основания R, высотой h и вершиной в точке О. Введем ось ОХ (ОМ – ось конуса). Произвольное сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ, является кругом с центром в точке М1 - пересечения этой плоскости с осью ОХ. Обозначим радиус этого круга через R1, а площадь сечения через S(х), где х – абсцисса точки М1.

Х

O

Х

h

М1

A1

М

R

A

?ома~?ом1а1

R1

27 Следствие

Следствие

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а=0, b=h, получаем.

Площадь S основания конуса равна ПR?, поэтому

Х

O

Х

h

Следствие

М1

A1

Объем V усеченного конуса, высота которого равна h, а площади оснований равны S и S1, вычисляется по формуле

М

R

A

R1

28 Объем шара

Объем шара

Теорема :Объем шара радиуса R равен 4/3?R?

Дано: шар, Rш ; О- центр шара; ОХ – ось шара; ??OX ;М- центр круга сечения; ОС=r; Sсеч. = S (x); х- абсцисса М

Найти : V

S (x)=?r?

S (x)=?(R?-x?)

Х

A

?

r

М

C

R

Х

O

Применяя основную формулу для вычисления объемов имеем :а =-R; b=R

-R? x ?R

29 Часть шара

Часть шара

Шаровым сегментом называется часть шара , отсекаемая от него плоскостью. На чертеже два шаровых сегмента- верхний и нижний. Круг , полученный в сечении – основание сегмента, АВ- высота верхнего сегмента, ВС- высота нижнего сегмента (оба отрезка –части диаметра АС. ОК=Rш.).

Vш. С . =?h?(r-1/3h)

S (x)=?х?, где r-h ?x ?R где S (x)- площадь сечения

Х

Ав=h

A

?

h

К

B

O

C

OX ? ?

S (x)- непрерывная функция на [a; b]

По определению правила вычислению объемов a=R-h; b=R

V=??(R?-x?)dx=?(R?x-x?/3)| =?h?(R-1/3h)

R

R

R-h

R-h

30 Круги

Круги

Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями. Круги , полученные в сечениях- основания шарового слоя, расстояние между этими плоскостями- высота шарового слоя.

Объем шарового слоя – разность объемов двух шаровых сегментов с высотой АС и АВ.

Шаровой слой

A

B

C

31 Тело, полученное вращением кругового сектора

Тело, полученное вращением кругового сектора

Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом меньше 90°, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов. Шаровой сектор состоит из конуса и шарового сегмента с высотой h.

O

V=2/3?R?h

h

r

Шаровой сектор

R

«Объёмы пространственных фигур»
http://900igr.net/prezentatsii/geometrija/Objomy-prostranstvennykh-figur/Objomy-prostranstvennykh-figur.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

39 тем
Слайды
Презентация: Объёмы пространственных фигур.ppt | Тема: Объём | Урок: Геометрия | Вид: Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Объём > Объёмы пространственных фигур.ppt