Определение параллельности прямых

Параллельные прямые в пространстве

ПЛОСКОСТЬ Прямые, не имеющие общих точек, называются параллельными. АПП: Через любую точку плоскости, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной и притом только одна.

ПРОСТРАНСТВО Прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек, называются параллельными. Теорема (о существовании и единственности прямой, параллельной данной): Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной и притом только одна.

Плоскость

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

ПРОСТРАНСТВО Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

С

c

А

О

О

А

b

b

?

Как доказывается истинность утверждения? Как доказывается то, что утверждение ложно?

Лемма

N.

b

a

А

b

М

М

?

Р

?

?

ЛЕММА: Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая пересекает эту плоскость. (Лемма – это утверждение, предшествующее теореме и использующееся при доказательстве этой теоремы)

Стороны

№ 19. Стороны параллелограмма АВ и ВС пересекают плоскость ?. Докажите, что прямые AD и DC тоже пересекают плоскость ?.

D

А

C

M

?

N

B

Две прямые

Дано: a?c, b?c. Доказать: a?b, т.е.: 1) a и b лежат в одной плоскости 2) a и b не пересекаются. Доказательство: 1).

Доказательство: 2) от обратного Пусть: a и b пересекаются, тогда…….

Теорема: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. (признак параллельности прямых)

С

c

А

a

b

О

b

K

?

b

?

Параллелепипед

Дан параллелепипед, грани которого являются параллелограммами. Доказать: 1) AB?D1C1; 2) DD1?BB1; 3)AD ? (A1B1C1); 4) Каким плоскостям параллельна прямая D1C1; 5) АА1 и DC скрещивающиеся прямые; 6) В1С1 и DD1 скрещивающиеся прямые.

B

C

D

A

B1

C1

A1

D1

Взаимное расположение

прямой и плоскости.

1 случай: а ? ?

3 случай: а ? ?

А

А

?

2 случай: а содержится в ? или плоскость ? проходит через прямую а

В

?

?

А

Признак параллельности

прямой и плоскости Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

А

b

?

Дано: а не содержится в ?, b содержится в ?, а ? b. Доказать: а ? ?

Доказательство Метод «от обратного» Пусть а не параллельна ?. Тогда… а содержится в ?. или а пересекает ?. По лемме, так как а ? b, то b тоже пересекает ?. Это противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение неверно. Следовательно а ? ?

Точка

№ 23 Точка М не лежит в плоскости прямоугольника АВСD. Докажите, что CD ? (ABM).

М

В

С

А

D

Свойство

А.

?

?

b

Свойство 1. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и пересекает ее, то линия пересечения параллельна данной прямой

Задача

Плоскость ? пресекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках M и N соответственно. Известно, что АС??, АВ:АМ=8:3. 1) Докажите, что ВN:ВС=5:8; 2) Найдите ВN.

В

M

N

?

А

С

Одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая пересекает эту плоскость.

Свойство 2

Свойство 2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая… либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Взаимное расположение прямых

в пространстве назвать несколько пар параллельных прямых несколько пар пересекающихся прямых несколько пар прямых, не лежащих в одной плоскости.

D1

C1

А1

B1

D

С

В

А

Скрещивающиеся прямые

Определение Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости

Признак Если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые являются скрещивающимися

D

?

C

?

В

А

Полуплоскости

С.

?

Любая прямая с, лежащая в плоскости ?, делит эту плоскость на две полуплоскости с границей с.

Углы с сонаправленными сторонами

Определение: Два луча, не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей, проходящей через их начала.

А

Сонаправлены ли лучи: 1 и 2; 1 и 3; 2 и 5; 2 и 4; 5 и 4?

1

2

3

5

4

Теорема

Если стороны двух углов являются сонаправленными лучами, то такие углы равны Доказательство:

А

О

В

О1

А1

В1

рассмотрим четырехугольники 1) ОАА1О1,, 2) ОВВ1О1, 3) ВАА1В1, 4) треугольники ОАВ и О1А1В1

Задача № 46

?

m

В

С

О

А

D

Угол между прямыми

Задача: Прямая р, не лежащая в плоскости треугольника АВС, параллельна стороне АВ. Найти угол между прямыми р и ВС, если угол АВС равен 132о.

Р

С

А

В

Р

С

А

В

?

Параллельность плоскостей

Опр. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Признак: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Метод

?

?

c

Метод от обратного: Пусть ? и ? не параллельны. Тогда они пересекаются по прямой с.

O

А

b

А1

b1

Две параллельные плоскости

?

?

?

Свойство 1: Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

А

b

Отрезки параллельных прямых

Свойство 2: Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

A

C

B

D