Параллельные прямые

Параллельные прямые

Признаки параллельности прямых

а ? в в точке А

С // d

Две прямые имеют одну общую точку, то есть пересекаются

Определение: Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются

С // d

AB // CD

Накрест лежащие углы – 3 и 5; 4 и 6

Односторонние углы – 4 и 5; 3 и 6.

Соответственные углы – 1 и 5; 2 и 6; 4 и 8; 3 и 7.

1

2

4

3

6

5

7

8

С - секущая

Признаки параллельности двух прямых

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы

равны, то прямые параллельны.

А

А

В

В

Дано: а, в – прямые, АВ – секущая, ?1 и ?2 – накрест лежащие, ?1=?2.

Доказать: а // в.

1

2

А

А

В

В

Доказательство: Рассмотрим если ?1=?2=900.

Отсюда следует, а и в перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны.

1

2

А

Н

А

О

В

В

Н1

?1=?2 – не прямые.

1

2

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних

углов равна 1800, то прямые параллельны.

А

А

В

В

Дано: а, в – прямые, АВ – секущая, ?1 и ?2 – односторонние, ?1+?2=1800.

Доказать: а // в.

1

2

Доказательство:

?1+?3=1800 – сумма смежных углов.

? ?2=?3 – накрест лежащие.

?1+?2=1800 – по условию теоремы.

Так как ?2=?3 – по выше доказанной теореме (Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.) следует, что а//в.

Ч.Т.Д.

3

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы

равны, то прямые параллельны.

А

А

В

В

Дано: а, в – прямые, АВ – секущая, ?1 и ?2 – соответственные, ?1=?2 .

Доказать: а // в.

1

2

? ?2=?3 – накрест лежащие

Доказательство:

А

А

В

В

?1=?3 – вертикальные углы.

?1=?2 – по условию теоремы.

Так как ?2=?3 – по выше доказанной теореме (Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.) следует, что а//в.

Ч.Т.Д.

1

3

2