Перпендикулярные прямые в пространстве

«Перпендикулярные прямые в пространстве»

«Перпендикулярность прямой и плоскости»

Тема урока:

Модель куба

Как называются прямые АВ и ВС?

В пространстве перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут скрещиваться.

Найдите угол между прямыми АА1 и DC; ВВ1 и АD.

D1

С1

А1

В1

D

С

А

В

Рассмотрим прямые АА1, СС1 и DC

Если одна из параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Аа1 ?|| ? сс1 ; dc сс1

D1

С1

Аа1 dc

А1

В1

D

С

А

В

Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к этой

прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Дано: а ?b и а ? с. Доказать: b ? c. Доказательство: Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведём прямые а и с. Т.к. а ?с, то ?АМС =90° Т.к. а ?b , а ? МА, то b ? МА. Итак, b ? МА, с ? МС, ? АМС = 90°, т. е. b ? c. Лемма доказана.

Найдите угол между прямой АА1 и прямыми плоскости (АВС): АВ, АD, АС,

ВD, МN.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

900

D1

С1

900

А1

В1

900

D

900

С

М

900

А

В

N

Дано: прямая а параллельна прямой а1 и перпендикулярна плоскости

. Доказать: а1 ?

А1

А

Х

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к

плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: а ?а1 , а ? ?. Доказать: а 1? ? Доказательство: Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости ?. Так как а перпендикулярна ?, то а перпендикулярна х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 перпендикулярна х. Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости ?, т.е. а1 перпендикулярна ?. Теорема доказана.

M

c

А

b

b1

Обратная теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они

параллельны.

Дано: a ??,b ?? (а) Доказать : a ? b . Доказательство: Через какую-нибудь точку M прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой a. По предыдущей теореме b1 ??. Докажем ,что прямая b1 совпадает с прямой b .Тем самым будет доказано ,что a ? b .Допустим ,что прямые b и b1 не совпадают .Тогда в плоскости ?,содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c ,по которой пересекаются плоскости ? и ? (б).Но это невозможно, следовательно, a?b. Теорема доказана.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

А

А

Р

Р

l

q

Q

O

m

L

B

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.