Площадь криволинейной трапеции

Презентация по математике

На тему : Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница

Площадь криволинейной трапеции

Определение: фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a; b] функции f , осью Ох и прямыми х = а, х = b .

Изображения криволинейных трапеций:

Теорема:

Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция , а F – ее первообразная на этом отрезке , то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b] , т.е.

Теорема о вычислении площади криволинейной трапеции

Доказательство

Доказательство : Рассмотрим функцию S( x) , определенную на отрезке [a; b] . Если a < x ? b , то S( x ) – площадь той части криволинейной трапеции , которая расположена левее вертикальной прямой , проходящей через точку М ( x: 0 ) ( рис 2.а) Если x = a , то S ( a ) = o . Отметим , что S ( b) = S ( S – площадь криволинейной трапеции ) . Нам осталось доказать , что S' ( x ) = f ( x ) (2) По определению производной докажем, что ?S(x) ? f ( x ) (3) ? x при ? x ?0

Доказательство

Выясним геометрический смысл числителя ?S ( x) . Для простоты рассмотрим случай ? x > 0 . Поскольку ?S ( x) = S ( x + ? x )- S(x), то ?S ( x) – площадь фигуры , заштрихованной на рисунке 2, б. Дальнейшее доказательство рассмотрите самостоятельно. Итак , мы получили, что S есть первообразная для f . Поэтому в силу основного свойства первообразных для всех x, принадлежащих промежутку [ a ; b ] . имеем : S ( x ) = F (x) + C , где C – некоторая постоянная , а F – одна из первообразных для функции F . Для нахождения C подставим х = а : F ( a ) + C = S ( a ) = 0, откуда C = - F (a ) . Следовательно , S ( x ) = F( x ) – F ( a ). (4) Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S ( b ) , подставляя x = b в формулу ( 4 ) , получим: S = S ( b ) = F ( b ) – F ( a ).

Пусть на отрезке [а; b] оси Ох задана непрерывная функция f, не

меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а; b] и прямыми х = а и х = b (рис. 1), называют криволинейной трапецией. Различные примеры криволинейных трапеций приведены на рисунках 1, а — д.

Для вычисления площадей криволинейных трапеций применяется следующая теорема: Теорема. Если f — непрерывная и неотрицательная на отрезке [а; b] функция, a F — ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции (рис. 2) равна приращению первообразной на отрезке [а; b] т. е. S=F(b)-F(a). (1) Доказательство. Рассмотрим функцию S (х), определенную на отрезке [а; b]. Если а <x?b, то S (х) — площадь той части криволинейной трапеции, которая расположена левее вертикальной прямой, проходящей через точку М (х; 0) (рис. 2, а). Если х=а, то S (а) = 0. Отметим, что S(b)=S (S — площадь криволинейной трапеции).

.

Докажем, что S'(x)=f(x). (2) По определению производной надо доказать, что при (3) Выясним геометрический смысл числителя ? S (х). Для простоты рассмотрим случай ?X>0. Поскольку ? S(х)= S (х + ? х) — S (х), то ? S (х) — площадь фигуры, заштрихованной на рисунке 2, б. Возьмем теперь прямоугольник той же площади ? S(x),опирающийся на отрезок [х; х+? х] (рис. 2, в). В силу непрерывности функции f верхняя сторона прямоугольника пересекает график функции в некоторой точке с абсциссой с ? [х; х+? х] (в противном случае этот прямоугольник либо содержится в части криволинейной трапеции над отрезком [х;x+?x], либо содержит ее; соответственно его площадь будет меньше или больше площади ? S (X)). Высота прямоугольника равна f (с). По формуле площади прямоугольника имеем ? S (x)=f (с) ? х, откуда (Эта формула верна и при ? х<0.) Поскольку точка с лежит между х и х + ?x; то с стремится к х при . Так как функция f непрерывна, при . Итак, при .Формула (2) доказана.Мы получили, что S есть первообразная для f. Поэтому в силу основного свойства первообразных для всех х? [а;b] имеем: S(x) = F(x)+C, где С — некоторая постоянная, a F — одна из первообразных для функции f. Для нахождения С подставим х = а: F(a)+C=S(a)=0, откуда C=—F(a). Следовательно, S(x) = F(x)-F(a). (4) Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S (b), подставляя х = b в формулу (4), получим: S=S(b)=F(b)-F(a).

Пошаговый пример

Пример: Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 4 - х?и у=0 Решение: 1. Построим криволинейную трапецию: у = 4 - х?- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз. у = 0 - ось абсцисс. 2. Найдём [а; b]: 4-х?= 0; х? = 4 х = -2 или х = 2, т. е. а = -2 b = 2 3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле: S = F(b) – F(а) S=F(2)-F(-2)=10,(6).

Формула Ньютона-Лейбница

Определённый интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

ТЕОРЕМА

Пусть функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – любая первообразная для f(x) на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е. Нахождение определенных интегралов с использованием формулы Ньютона–Лейбница (2) осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят некоторую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x); на втором применяется собственно формула Ньютона-Лейбница – находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. В связи с этим, введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений. По определению положим Следует подчеркнуть, что при применении формулы Ньютона – Лейбница можно использовать любую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x), например имеющую наиболее простой вид при С=0.