Плоскости в пространстве

Аналитическая геометрия

Часть 2 Геометрия в пространстве

Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнения плоскости. 1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Заданы: точка и нормальный вектор Уравнение плоскости:

Плоскость Q определена единственным образом, если задана одна точка и вектор Q. Вектор Q называют нормальным вектором.

z

Q

Необходимое и достаточное условие того, что точка М принадлежит плоскости Q.

y

Х

Пусть точка Тогда

n

0

Аналитическая геометрия в пространстве

Q

Теорема. Всякое уравнение первой степени с тремя переменными x,y,z вида (1) задает плоскость в пространстве и наоборот, всякая плоскость в пространстве может быть задана уравнением с тремя переменными x,y,z вида (1).

2. Общее уравнение плоскости. Уравнение вида называется общим уравнением плоскости. Коэффициенты A,B,C в уравнении определяют координаты нормального вектора:

Q

Аналитическая геометрия в пространстве

z

3. Исследование общего уравнения плоскости. 1. Коэффициент D=0 (рис. 1) 2. Коэффициент A=0 (рис. 2) 3. Коэффициент B=0 (рис. 3) 4. Коэффициент C=0 (рис. 4)

y

z

Рис. 1

x

z

z

y

y

x

Рис. 2

y

Рис. 3

x

x

Рис.4

Q

O

Q

Q

Q

O

O

O

Аналитическая геометрия в пространстве

5. Коэффициенты A=B=0 (рис. 5) 6. Коэффициенты A=C=0 (рис. 6) 7. Коэффициенты B=C=0 (рис. 7)

z

z

z

y

y

x

y

x

Рис. 7

x

Рис. 5

Рис. 6

Q

Q

Q

O

O

O

Аналитическая геометрия в пространстве

z

8. Коэффициенты A=B=D=0 9. Коэффициенты A=C=D=0 10. Коэффициенты B=C=D=0

Координатные плоскости

0

y

x

l :

Аналитическая геометрия в пространстве.

l

Уравнения прямой в пространстве. 1. Общее уравнение прямой. Аксиома: линия пересечения двух плоскостей – прямая.

Теорема. Система уравнений (2) определяет прямую в пространстве тогда и только тогда, когда коэффициенты не пропорциональны коэффициентам

(2)

Система уравнений (2) называется общим уравнением прямой.

Аналитическая геометрия в пространстве

l

l :

2. Канонические уравнения прямой. 3. Параметрические уравнения прямой.

Пусть точка Тогда

Аналитическая геометрия в пространстве

Взаимное расположение плоскостей и прямых в пространстве. 1. Условие параллельности плоскостей. 2. Условие перпендикулярности плоскостей.

Аналитическая геометрия в пространстве

3. Условие параллельности прямых. 4. Условие перпендикулярности прямых.

Аналитическая геометрия в пространстве

l

l

5. Условие параллельности прямой и плоскости. 6. Условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Q

Q