Поворот в геометрии

Поворот

Говорят, что точка А' плоскости получается из точки А поворотом вокруг точки О на угол ?, если OA' = OA и ?AOA' = ?.

Преобразование плоскости, при котором данная точка О остается на месте, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении (против часовой стрелки или по часовой стрелке) на заданный угол ?, называется поворотом вокруг точки О на угол ?.

Симметрия n-го порядка

Говорят, что фигура F' получается поворотом фигуры F вокруг точки О на угол ?, если все точки фигуры F' получаются всевозможными поворотами точек фигуры F вокруг точки О на угол ?.

Свойства

Свойство 1. Поворот сохраняет расстояния между точками.

Свойство 2. Поворот переводит отрезки в отрезки, лучи в лучи и прямые в прямые.

Что называется поворотом вокруг точки

Вопрос 1.

Что называется поворотом вокруг точки?

Ответ: Преобразование плоскости, при котором данная точка О остается на месте, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении (против часовой стрелки или по часовой стрелке) на заданный угол ?, называется поворотом вокруг точки О на угол ?.

Какая точка называется центром симметрии n-го порядка

Вопрос 2.

Какая точка называется центром симметрии n-го порядка?

Сформулируйте свойства поворота

Вопрос 3.

Сформулируйте свойства поворота.

Ответ: 1. Поворот сохраняет расстояния между точками. 2. Поворот переводит отрезки в отрезки, лучи в лучи и прямые в прямые.

На какой угол нужно повернуть прямую

Упражнение 1.

На какой угол нужно повернуть прямую, чтобы полученная прямая была: а) перпендикулярна исходной; б) параллельна исходной.

Ответ: а) 90о;

Б) 180о.

Правильный треугольник повернули на 60о вокруг центра описанной окружности. Какая фигура является общей частью полученного и исходного треугольников

Упражнение 2.

Правильный треугольник повернули на 60о вокруг центра описанной окружности. Какая фигура является общей частью полученного и исходного треугольников?

Ответ: Правильный шестиугольник.

Квадрат повернули вокруг точки пересечения диагоналей

Упражнение 3.

Квадрат повернули вокруг точки пересечения диагоналей на угол 45о. Какая фигура является общей частью полученного и исходного квадратов?

Правильный пятиугольник повернули вокруг центра описанной окружности

Упражнение 4.

Правильный пятиугольник повернули вокруг центра описанной окружности на угол 36о. Какая фигура является общей частью полученного и исходного пятиугольников?

Правильный шестиугольник повернули вокруг центра описанной окружности

Упражнение 5.

Правильный шестиугольник повернули вокруг центра описанной окружности на угол 30о. Какая фигура является общей частью полученного и исходного шестиугольников?

Какие фигуры, изображенные на рисунке, при повороте переходят сами в себя

Упражнение 6.

Какие фигуры, изображенные на рисунке, при повороте переходят сами в себя? Укажите центры и углы поворота.

Ответ: а) Центр описанной окружности, 120о;

Б) точка пересечения диагоналей, 180о;

В) центр описанной окружности, 60о;

Г) центр окружности, произвольный угол;

Д) центр описанной окружности, 72о.

На какой наименьший угол нужно повернуть окружность вокруг точки A, ей принадлежащей, чтобы повернутая окружность касалась исходной

Упражнение 7.

На какой наименьший угол нужно повернуть окружность вокруг точки A, ей принадлежащей, чтобы повернутая окружность касалась исходной?

Ответ: 180о.

Точка A удалена от центра окружности радиуса 2 на расстояние 4

Упражнение 8.

Точка A удалена от центра окружности радиуса 2 на расстояние 4. На какой наименьший угол нужно повернуть окружность вокруг точки A, чтобы повернутая окружность касалась исходной?

Ответ: 60о.

На рисунке укажите буквы латинского алфавита, имеющие центр симметрии 2-го порядка

Упражнение 9.

На рисунке укажите буквы латинского алфавита, имеющие центр симметрии 2-го порядка.

Ответ: H, I, N, O, S, X, Z.

Центром симметрии какого порядка является точка пересечения диагоналей

Упражнение 10.

Центром симметрии какого порядка является точка пересечения диагоналей: а) параллелограмма; б) ромба; в) прямоугольника; г) квадрата; д) правильного пятиугольника?

Ответ: а) 2-го порядка;

Б) 2-го порядка.

В) 2-го порядка.

Г) 4-го порядка.

Д) 5-го порядка.

Симметрией какого порядка обладают снежинки

Упражнение 11.

Симметрией какого порядка обладают снежинки?

Ответ: 6-го порядка.

Может ли центр симметрии n-го порядка фигуры не принадлежать ей

Упражнение 12.

Может ли центр симметрии n-го порядка фигуры не принадлежать ей?

Ответ: Да.

Изобразите точку A’, полученную из точки A поворотом вокруг точки O на угол 90о против часовой стрелки

Упражнение 13.

Изобразите точку A’, полученную из точки A поворотом вокруг точки O на угол 90о против часовой стрелки.

Изобразите точку A’, полученную из точки A поворотом вокруг точки O на угол 270о против часовой стрелки

Упражнение 14.

Изобразите точку A’, полученную из точки A поворотом вокруг точки O на угол 270о против часовой стрелки.

Изобразите отрезок A’B’, полученный из отрезка AB поворотом вокруг точки O на угол 90о по часовой стрелке

Упражнение 15.

Изобразите отрезок A’B’, полученный из отрезка AB поворотом вокруг точки O на угол 90о по часовой стрелке.

Отрезок CD получен поворотом отрезка AB на угол 90о по часовой стрелке. Укажите центр поворота

Упражнение 16.

Отрезок CD получен поворотом отрезка AB на угол 90о по часовой стрелке. Укажите центр поворота.

Изобразите треугольник A’B’C’, полученный из треугольника ABС поворотом вокруг точки O на угол 90о против часовой стрелки

Упражнение 17.

Изобразите треугольник A’B’C’, полученный из треугольника ABС поворотом вокруг точки O на угол 90о против часовой стрелки.

Изобразите треугольник, полученный поворотом треугольника ABC вокруг точки O на угол 90о по часовой стрелке

Упражнение 18.

Изобразите треугольник, полученный поворотом треугольника ABC вокруг точки O на угол 90о по часовой стрелке.

Изобразите треугольник, полученный из треугольника OAB поворотом вокруг точки O на угол 60о против часовой стрелки

Упражнение 19.

Изобразите треугольник, полученный из треугольника OAB поворотом вокруг точки O на угол 60о против часовой стрелки.

Изобразите треугольник, полученный из треугольника ABC поворотом вокруг точки O на угол 40о по часовой стрелке

Упражнение 20.

Изобразите треугольник, полученный из треугольника ABC поворотом вокруг точки O на угол 40о по часовой стрелке.

Точка B получена поворотом точки A на угол 90о против часовой стрелки. Укажите центр поворота

Упражнение 21.

Точка B получена поворотом точки A на угол 90о против часовой стрелки. Укажите центр поворота.

Точка B получена поворотом точки A на угол 90о по часовой стрелке. Укажите центр поворота

Упражнение 22.

Точка B получена поворотом точки A на угол 90о по часовой стрелке. Укажите центр поворота.

Треугольник DEF получен поворотом треугольника ABС на угол 90о против часовой стрелки. Укажите центр поворота

Упражнение 23.

Треугольник DEF получен поворотом треугольника ABС на угол 90о против часовой стрелки. Укажите центр поворота.

Треугольник A’B’C’ получен поворотом треугольника ABC по часовой стрелке вокруг точки O. Найдите угол поворота

Упражнение 24.

Треугольник A’B’C’ получен поворотом треугольника ABC по часовой стрелке вокруг точки O. Найдите угол поворота.

Ответ: 90о.

Треугольник A’B’C’ получен поворотом треугольника ABC по часовой стрелке вокруг точки O. Найдите угол поворота

Упражнение 25.

Треугольник A’B’C’ получен поворотом треугольника ABC по часовой стрелке вокруг точки O. Найдите угол поворота.

Ответ: 180о.

Треугольник A’B’C’ получен поворотом треугольника ABC по часовой стрелке вокруг точки O. Найдите угол поворота

Упражнение 26.

Треугольник A’B’C’ получен поворотом треугольника ABC по часовой стрелке вокруг точки O. Найдите угол поворота.

Ответ: 45о.

Треугольник A’B’C получен поворотом треугольника ABC против часовой стрелки вокруг точки C. Найдите угол поворота

Упражнение 27.

Ответ: 135о.

Треугольник A’B’C получен поворотом треугольника ABC против часовой стрелки вокруг точки C. Найдите угол поворота.

Изобразите четырехугольник, полученный поворотом четырехугольника ABCD вокруг точки O на угол 270о против часовой стрелки

Упражнение 28.

Изобразите четырехугольник, полученный поворотом четырехугольника ABCD вокруг точки O на угол 270о против часовой стрелки.

Центром симметрии какого порядка является точка O для шестиугольника, изображенного на рисунке

Упражнение 29.

Центром симметрии какого порядка является точка O для шестиугольника, изображенного на рисунке?

Ответ: Второго.

Центром симметрии какого порядка является точка O для восьмиугольника, изображенного на рисунке

Упражнение 30.

Центром симметрии какого порядка является точка O для восьмиугольника, изображенного на рисунке?

Ответ: Четвертого.

Центром симметрии какого порядка является точка O для многоугольника, изображенного на рисунке

Упражнение 31.

Центром симметрии какого порядка является точка O для многоугольника, изображенного на рисунке?

Ответ: Девятого.

Центром симметрии какого порядка является точка O для звездчатого многоугольника, изображенного на рисунке

Упражнение 32.

Центром симметрии какого порядка является точка O для звездчатого многоугольника, изображенного на рисунке?

Ответ: Девятого.

Где нужно расположить колодец, чтобы суммарная длина дорожек была наименьшей

Упражнение 33*.

Три соседа по дачным участкам решили вырыть общий колодец и проложить от него дорожки к своим домикам. Где нужно расположить колодец, чтобы суммарная длина дорожек была наименьшей?