Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Геометрия 10 класс

Урок № 1

План

Перпендикулярные прямые в пространстве Определение прямой перпендикулярной к плоскости Параллельные прямые, перпендикулярные плоскости Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Домашнее задание:

Учебник пункты 15 – 17 ( п 16 без доказательств) № 117, № 128

Повторение

Вспомни

Взаимное расположение прямых в пространстве Определение параллельных прямых Взаимное расположение прямой и плоскости Признак // прямой и плоскости

Вспомни

Равнобедренный треугольник и его свойства Серединный перпендикуляр. Свойства точек серединного перпендикуляра

А

В

Перпендикулярные прямые

О

А

В

В

А

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90

Подумай

Каким может быть взаимное расположение перпендикулярных прямых?

Перпендикулярные прямые могут быть либо пересекающимися либо скрещивающимися.

Приведи примеры

Задача

Угол ВАD = 90 Докажите, что DC B1 C1

Ав а1d1

В

С

D

А

С 1

А 1

D 1

Л е м м а

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. ДАНО: а // в, а с Доказать: в с

Доказательство

А

С

М

ДАНО: а // в, а с Доказать: в с Доказательство:

А

В

С

в//а , а // А М, поэтому в// М А

Итак в//М А , с // М С , угол А М С = 90 , значит угол между в и с = 90 , т.е. в с

Задача

Угол ВАD = 90 Докажите, что DC B1 C1

Ав а1d1

В

С

D

А

С 1

А 1

D 1

Прямые перпендикулярные к плоскости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой лежащей в этой плоскости

?

А ?

Подумай

Каким может быть взаимное расположение прямой и плоскости, если они перпендикулярны?

Приведи примеры из окружающей обстановки, иллюстрирующие перпендикулярность прямой и плоскости

Верно ли

Если прямая а перпендикулярна плоскости ? , то она перпендикулярна прямой АВ, лежащей в плоскости ?

Задача

Точки А, М, О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости ? , а точки О, В, С и Д лежат в плоскости ? .

Сделай чертеж

Какие из следующих углов являются прямыми: АОВ, МОС, ДАМ, ДОА, ВМО?

Связь между // прямых и их перпендикулярностью к плоскости

Теорема Если одна из двух // прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости

Связь между // прямых и их перпендикулярностью к плоскости

Теорема Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Сделай чертеж

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Теорема Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости

А

А

q

А

ДАНО: а р, а q? ДОКАЗАТЬ: а ?

L

?

m

О

Р

a

P

A

L

q

Q

p

L

B

a

P

A

L

q

Q

p

L

B

О

Задача

Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. Определите вид треугольника МВД, где Д – лежит на прямой АС

М

В

А

С

Д

Итак

.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если… Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они … Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то …

Верно ли

Если прямая а параллельна плоскости, а прямая в перпендикулярна к этой плоскости, то прямые а и в взаимно перпендикулярны?