Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве

Прямые с выбранными на них направлениями

называются осями координат, а их общая точка – началом координат. Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат, Оz – ось аппликат.

Три плоскости, проходящие через оси координат

Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями: Оху, Оуz, Оxz.

Плоскость Oyz

Плоскость Oxz

Плоскость Oxy

O

Каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел – её координаты: М (х, у, z), где х – абсцисса, у – ордината, z - аппликата.

ОУ (0,у,0)

Координаты вектора в пространстве

Единичный вектор

z.

O

y

x

Единичный вектор – вектор, длина которого равна 1. i – единичный вектор оси абсцисс, j – единичный вектор оси ординат, k – единичный вектор оси аппликат.

Координаты равных векторов

соответственно равны, т.е., если ? { x1; y1; z1 } = b { x2; y2; z2 }, то x1 = x2, y1 = y2, z1 = z2.

Любой вектор ? можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде:

Нулевой вектор можно представить в виде:

Сумма векторов

a + b = { x1+ x2; y1+ y2; z1+ z2 }. Разность векторов: a – b = { x1 – x2; y1 – y2; z1 – z2 }. Произведение вектора на число: ?? = { ?x; ?y; ?z }.

Задача

№401.

Ответ: А1 (2;-3;0); А2 (2;0;5); А3 (0;-3;5)

Задача №402

Ответ: С (0;1;1); В1 (1;0;1); С1 (1;11); Д 1(1;1;0)

Итог урока

На уроке познакомились с прямоугольной системой координат, научились строить точку по заданным ее координатам и находить координаты точки, изображенной в заданной системе координат. Декартова система координат не единственная. К следующему уроку найти в Интернете другие системы координат.

Разложение вектора по координатным векторам

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны

Если векторы а { x1; y1; z1 } и b { x2; y2; z2 }, то:

Самостоятельная работа

1 вариант №1. Даны векторы а {2; -4; 3} и b {-3; 1/2; 1}. Найдите координаты вектора с = a + b. №2. Даны векторы а {1; -2; 0}, b {3; -6; 0}, c {0; -3; 4}. Найдите координаты вектора p = 2a – 1/3b – c. №3. Найдите значения m и n, при которых векторы а {6; n; 1} и b {m; 16; 2} коллинеарны.

2 вариант №1. Даны векторы а {1; -3; -1} и b {-1; 2; 0}. Найдите координаты вектора с = a – b. №2. Даны векторы а {2; 4; -6}, b {-3; 1; 0}, c {3; 0; -1}. Найдите координаты вектора p = -1/2a + 2b – c. №3. Найдите значения m и n, при которых векторы а {-4; m; 2} и b {2; -6; n} коллинеарны.

Связь между координатами векторов и координатами точек

Вектор, конец которого совпадает с данной точкой

М (x; y; z) OM (x; y; z).

A (x1; y1; z1), B (x2; y2; z2) AB (x2 – x1; y2 – y1; z2 – z1)

Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало – с началом координат, называется радиус-вектором данной точки. Координаты любой точки равны соответствующим координатам её радус-вектора.

Простейшие задачи в координатах

Координаты середины отрезка

1. Координаты середины отрезка.

2. Вычисление длины вектора по его координатам: если а { x; y; z }, то

3. Расстояние между двумя точками:

A (x1; y1; z1), B (x2; y2; z2), C (x; y; z) – середина АВ. ОС = ? (ОА + ОВ), тогда

z

D

А

С

В

У

О

Х

Угол между векторами

А и b сонаправлены

Если а || b и а и b сонаправлены, то ? = 0°. Если a || b и a и b противоположно направлены, то ? = 180°. Если а ? b, то ? = 90°.

А

?

О

В

Скалярное произведение векторов

A · b

= | a | · | b | · cos(a ^ b) 2) a { x1; y1; z1 } и b { x2; y2; z2 } a · b = x1x2 + y1y2 + z1z2 3) a 2 = | a |2.

Введём систему координат

№ 467.

Решение: Введём систему координат: В(0; 0; 0), С(1; 0; 0), А(0; 1; 0), D(1; 1;0), B1(0; 0; 2), C1(1; 0; 2), D1(1; 1; 2), A1(0; 1; 2). Тогда, BD{1; 1; 0}, CD1 = BA1{0; 1; 2}.

z

B1

A1

C1

D1

B

У

A

C

D

Х

№ 466

.

.

z

D1

C1

A1

B1

M

D

У

K

C

N

A

B

Х

№ 469 (а)

z

D1

C1

M

A1

B1

D

У

K

C

N

A

B

Х