Равновеликие фигуры

Равновеликие фигуры

Площадь треугольника Равновеликие фигуры.

Учитель математики МОУ «Лицей «Синтон» Фотина Ия Васильевна

2010 год

Выведите формулу площади параллелограмма

Зависимость

обратно пропорциональная.

Какова зависимость между сторонами параллелограмма и высотами, опущенными на них?

Найти вторую высоту

Площади параллелограммов

Сравните площади параллелограммов (Они имеют равные площади, у всех основание a и высота h).

Определение: Фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими.

Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей

Доказать, что всякая прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей, делит его на 2 равновеликие части.

Решение:

Высоты

В параллелограмме ABCD CF и CE высоты. Доказать, что AD ? CF = AB ? CE.

Трапеция

Дана трапеция с основаниями a и 4a. Можно ли через одну из её вершин провести прямые, разбивающие трапецию на 5 равновеликих треугольников?

(Можно. Все треугольники равновеликие).

Площадь треугольника

Выведите формулу площади треугольника

Достроим треугольник до параллелограмма.

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

Начертите равновеликие треугольники

Задание: Начертите равновеликие треугольники.

Модель (склеены основания)

Сравните площади двух треугольников

Упражнение №474. «Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой».

У треугольников одинаковые основания a и одна и та же высота h.Треугольники имеют одинаковую площадь

Вывод: Фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими. Медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника

Равновелики ли равные фигуры

1) Равновелики ли равные фигуры? 2) Сформулируйте обратное утверждение. Верно ли оно? 3) Верно ли: а) Равносторонние треугольники равновелики? б) Равносторонние треугольники с равными сторонами равновелики? в) Квадраты с равными сторонами равновелики? г) Докажите, что параллелограммы, образованные при пересечении двух полос одинаковой ширины под разными углами наклона друг к другу, равновелики. Найдите параллелограмм наименьшей площади, образующийся при пересечении двух полос одинаковой ширины.

Торт имеет форму параллелограмма

Малыш и Карлсон делят его так: Малыш указывает на поверхности торта точку, а Карлсон по прямой, проходящей через эту точку, разрезает торт на 2 куска и один из кусков забирает себе. Каждый хочет получить кусок побольше. Где Малыш должен поставить точку? Решение: В точке пересечения диагоналей.

Диагонали

На диагонали прямоугольника выбрали точку и провели через неё прямые, параллельные сторонам прямоугольника. По разные стороны образовались 2 прямоугольника. Сравните их площади.

Решение:

Разрежьте треугольник двумя прямыми линиями

Шаг вперёд! «Разрежьте треугольник двумя прямыми линиями так, чтобы можно было из частей сложить прямоугольник».

Разрежьте прямоугольник по прямой линии

«Разрежьте прямоугольник по прямой линии на 2 части, из которых можно сложить прямоугольный треугольник».

Решение:

Проведём диагональ

Решение: Проведём диагональ BD.

Из олимпиадных задач: «В четырёхугольнике ABCD точка E - середина AB, соединена с вершиной D, а F – середина CD, с вершиной B. Доказать, что площадь четырёхугольника EBFD в 2 раза меньше площади четырёхугольника ABCD.

Начертите треугольник

№475 «Начертите треугольник ABC. Через вершину B проведите 2 прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на 3 треугольника, имеющие равные площади».

Подсказка: Используйте теорему Фалеса: (разделите АC на 3 равные части).

В параллелограмме вырезан параллелограмм

Задача дня. «В параллелограмме вырезан параллелограмм. Разделите оставшуюся часть на 2 равновеликие фигуры».

Секущая AB проходит через точку пересечения диагоналей параллелограммов и .

Дополнительные задачи

(из олимпиадных задач): «В трапеции ABCD (AD || BC) вершины A и B соединены с точкой M – серединой стороны CD. Площадь треугольника ABM равна m. Найти площадь трапеции ABCD».

Решение: Треугольники ABM и AMK – равновеликие фигуры, т.к. AM – медиана. Ответ:

Сторона

АВ произвольного треугольника АВС продолжена за вершину В так, что ВР = АВ, сторону АС за вершину А так, что АМ = СА, сторону ВС за вершину С так, что КС = ВС. Во сколько раз площадь треугольника РМК больше площади треугольника АВС?

Ответ: Площадь треугольника МРК в 7 раз больше площади треугольника АВС.

Площадь

Доказать, что если на стороне параллелограмма взять точку A и соединить её с вершинами, то площадь получившегося треугольника ABC равна половине площади параллелограмма.

Решение:

Сцепленные параллелограммы

2 параллелограмма расположены так, как показано на рисунке: они имеют общую вершину и ещё по одной вершине у каждого из параллелограммов лежит на сторонах другого параллелограмма. Доказать, что площади параллелограммов равны.