Решение прямоугольных треугольников

Решение прямоугольных треугольников

Задание В4.

Решение прямоугольных треугольников

Теорема Пифагора

Часть 1.

Теорема Пифагора

Прямоугольный треугольник

A

B

С

Теорему Пифагора при-меняют для прямоугольных треугольников, то есть для треугольников у которых один угол равен 90 градусов. Стороны прямоугольных треугольников имеют названия. Стороны, которые прилежат к прямому углу - КАТЕТЫ. Сторона, лежащая напротив прямого угла - ГИПОТЕНУЗА

Гипотенуза

Катет

Катет

90°

Найдите катеты и гипотенузу в данных треугольниках

В

D

K

C

С

Т

Гипотенуза

Гипотенуза

Катет

Катет

Катет

Катет

P

C

F

B

C

H

CH- катет СB – катет НВ - гипотенуза

СР – катет СF – катет PF - гипотенуза

Теорема Пифагора

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

A

c

B

AB2 =

AC2 + CB2

Гипотенуза

АС - катет

Катет

ВС - катет

АВ -гипотенуза

Катет

Применение теоремы Пифагора

Найти гипотенузу по двум катетам.

Ас2 + сb2 = aв2

К2 + к2 = г2

32 + 42 = г2

9 + 16 = г2

25 = г2

Г=

Ав =5

Найти катет по гипотенузе и другому катету

Применение Теоремы Пифагора. Найти катет по гипотенузе и другому катету.

Вс2 = ав2 - ас2

Г2 – к2 = к2 102 – 82 = к2

100 – 64 = к2 36 = к2 к =

Св = 6

Применение теоремы Пифагора

К2 + к2 = г2 12 + 12 = г2 1 + 1 = г2 2 = г2 г = г2 – к2 =к2 ( )2 – 22 = к2 8 – 4 = к2 4 = к2 к = 2

А

Ав =

С

В

А

Св = 2

С

В

Упражнения

4

13

2

5

?

?

1

3

2

?

12

?6

5

?10

?

Определение синуса, косинуса

Часть 2.

Определение синуса, косинуса тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике

Синус, косинус, тангенс – это дроби, которые описывают величину угла

В числителе и в знаменателе такой дроби стоит длина одной из сторон. Как разобраться длину, какой стороны надо поставить в числитель или в знаменатель?

Определение косинуса

Просто косинуса не бывает!!!! Косинус описывает величину какого-то угла. Итак, надо, например, найти cos А (т.е. косинус угла А). Найдем этот угол в треугольнике. Обведем «пожирнее» его стороны.

В

С

А

Определим cos A

Гипотенуза

AC

cos A =

AB

Косинус этого угла – это отношение тех сторон, которые обвели. Это дробь в числитель, которой записана меньшая (из обведенных сторон) , а в знаменатель большая. Большая сторона треугольни- ка - это гипотенуза( сторона, которая лежит напротив прямого угла)

В

С

А

Прилежащий катет

Определим cos В

Вс

cos B =

Ав

Повторяем предыдущий алгоритм. Нашли угол В, обвели его стороны. Записали дробь в числителе, которая меньшая из обведенных сторон, а в знаменателе большая

B

Прилежащий катет

Гипотенуза

C

A

Определение синуса

B

BC

sin A =

AB

A

C

Определим sin A. Обведем стороны угла А. Синус этого угла - это дробь в числителе, которой та сторона, которую не обвели, а в знаменателе большая из обведенных.

Противолежащий катет

Гипотенуза

Определим sin В

AC

sin B =

Ав

Повторяем предыдущий алгоритм. Нашли угол В, обвели его стороны. Записали дробь в числителе, сторона, которую не обвели, а в знаменателе большая из обведенных.

B

Гипотенуза

C

A

Противолежещий катет

Определение тангенса

B

BC

tg A =

AC

A

C

Определим tg A. Обведем стороны угла А. Тангенс этого угла - это дробь в числителе, которой та сторона, которую не обвели, а в знаменателе меньшая из обведенных.

Противолежащий катет

Прилежащий катет

Определим tg В

AC

tg B =

BC

Обведем стороны угла В. Тангенс этого угла - это дробь в числителе, которой та сторона, которую не обвели, а в знаменателе меньшая из обведенных

B

Прилежащий катет

C

A

Противолежещий катет

Найдите sin, cos, tg выделенного угла

A

D

M

A

D

M

Найдите sin, cos, tg выделенного угла

C

A

D

C

M

N

Нaйдите sin, cos, tg выделенного угла

T

P

H

T

A

P

А

H

Нaйдите sin, cos, tg выделенного угла

H

A

B

cos B = BH/BK sin B = HK/BK tg B = HK/BH

K

cos B = BH/BT sin B = HT/BT tg B = HT/BH

T

A

H

B

Два прямоугольных треугольника с общим острым углом

Пусть дан прямоугольный треугольник, в котором проведена высота к гипотенузе. Угол D общий для ?АDC и ?DCH Синус, косинус и тангенс угла А можно выразить через стороны одного и через стороны другого треугольника

D

D

H

A

C

A

C

sin D=CH/CD cos D=DH/CD tg D=CH/DH

sin D= AC/AD cos D=DC/AD tg D=CA/DH

H

Высота

Найдите sin, cos, tg выделенного угла

R

cos R = RC/BR sin R = BC/BR tg R = BC/RC

H

C

B

R

H

cos R = RH/CR sin R = HC/CR tg R = HC/RH

C

B

Часть 3

I и II тип задач

Найти sin (cos, tg) по двум данным сторонам

I тип: найти sin (cos, tg) по двум данным сторонам.

Как решать: Выразить sin (cos, tg) через стороны треугольника по определению Подставить те стороны, которые даны в задаче При необходимости найти недостающую сторону по теореме Пифагора

Выразим sin A через стороны треугольника

Пример.

Выразим sin A через стороны треугольника sin A = BC/AB AB=25, надо найти ВС, По теореме Пифагора. sin A = 20/25=4/5=0,8

AC=15 AB=25

В

sin A = ?

25

15

А

С

Упражнения

A

sin B = ?

A

tg

20

25

20

С

B

B

C

12

tg A = ?

B

B

cos A = ?

5

3

10

A

A

C

C

8

g A = ?

0,75

0,8

,7

0,75

0,8

Найти сторону треугольника по данному sin (cos, tg) и стороне

Iiтип: найти сторону треугольника по данному sin (cos, tg) и стороне.

Как решать: Выразить sin (cos, tg) через стороны треугольника по определению Подставить ту сторону, которая дана Приравнять к данному значению sin (cos,tg) Решить пропорцию. При необходимости найти недостающую сторону по теореме Пифагора

Выразим cosB через стороны треугольника

Пример.

Выразим cosB через стороны треугольника cosB = CB/AB BC/13=5/13, значит ВС=5 надо найти AС, по теореме Пифагора ВС=12

cos B=5/13

В

AB =13 AC = ?

13

?

А

С

Упражнения

cos B = 4/5

B

cos A = 0,5

B

?

25

С

A

A

С

4

?

B

cos B = 0,8

B

35

С

A

A

С

?

15

8

cos A =5/13

39

21

?

36

Основное тригонометрическое тождество

Часть 4.

Основное тригонометрическое тождество

Sin2 A + cos2 A = 1

Эта формула позволяет по данному значению синуса острого угла прямоугольного треугольника найти значение косинуса и наоборот sin A = ? 1 – cos2A cos A = ?1 – sin2A

Применение основного тригонометрического тождества

sin A = 3/5 cos A = ? cos A = ?1 – (3/5)2 cos A = ?1 - 9/25 cos A =?25/25 - 9/25 cos A = ?16/25 cos A =4/5

cos A = ?13/ 7

sin A = ?

sin A =?1 – (?13/7)2

sin A = ?1- 13/49

sin A = ?49/49 -13/49

sin A = ?36/49

sin A = 6/7

Упражнения

sin A = 0,8 cos A = ? 0,6

cos A = 0,6 sin A = ?

5/13

?93/10

0,8

5/?34

12/13

0,3

4/?41

sin A = 12/13 cos A = ?

cos A = ?7/10 sin A = ?

sin A = 3/?34 cos A = ?

cos A=?91/10 sin A = ?

sin A = 5/?41 cos A = ?

cos A =5/13 sin A = ?

Часть 5

III тип задач

Найти сторону треугольника по данному sin (cos) и стороне

Iiiтип: найти сторону треугольника по данному sin (cos) и стороне.

Как решать: Выразить sin (cos) через стороны треугольника Подставить ту сторону, которая дана, но такой стороны нет (в этом отличие от второго типа) По данному значению sin (cos) найти cos (sin) Выразить найденный cos (sin) через стороны Подставить ту сторону, которая дана в условии Приравнять к найденному значению Решить пропорцию. При необходимости найти недостающую сторону по теореме Пифагора

Выразить sin через стороны треугольника

Пример.

Выразить sin через стороны треугольника Подставить ту сторону, которая дана, но такой стороны нет По данному значению sinA найти cosA Выразить найденный cos через стороны Подставить ту сторону, которая дана в условии Приравнять к найден- ному значению cos Решить пропорцию:

sin A = 3/5

?

4

sin A = BC/AB

B

cos A = ?1 – (3/5)2 = 4/5

cos A = AC/AB

cos A = 4/AB

С

A

4/5 = 4/AB

Ав = 5

Упражнение

sin B = AC/AB cos B =?1 – (11/14)2 cos B = ?1 – 121/196 cos B = ?75/14= 5?3/14 cos B = CB/AB cos B = 10?3 /AB AB = 28

А

sin B =11/14

?

В

С

10?3

Проверь себя

В

В

sin A = 0,9

sin A = 3/5

?

?

А

12

С

С

А

?19

Вс = 9

Ответ:

Ответ:

Ав = 10

Проверь себя

В

В

cos A = 14/15

cos A = 0,4

?

?

А

С

А

С

AB =5

Ответ:

Ответ:

Ав = 30

Свойства равнобедренного треугольника

Часть 6.

Свойства равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треуголь-ник - это треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми. Третья сторона называется основание. В равнобедренном треугольнике Углы при основании равны.

С

Боковая сторона

Боковая сторона

А

Основание

В

Укажите в равнобедренных треугольниках основание и равные углы

Упражнения.

Укажите в равнобедренных треугольниках основание и равные углы Важно помнить: основание не обязательно располагается горизонтально.

C

B

C

A

C

B

A

A

B

AB – основание

Медиана, высота и биссектриса треугольника

Высота треугольника – это отрезок, который соединяет вершину треугольника и точку противоположной стороны и является перпендикуляром к ней. Медиана треугольника – это отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны. Биссектриса треугольника – это отрезок, который соединяет вершину треугольника и точку противоположной стороны и лежит на биссектрисе угла, т. е. на луче который делит данный угол пополам.

A

В

С

D

K

H

СD - медиана

AK - биссектриса

BH - высота

Высота, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике

Высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой Биссектриса, проведенная к основанию, является высотой и медианой

C

AC = CB

А

B

H

AH - высота, биссектриса, медиана.

Равнобедренный треугольник, в котором проведена высота

Часть 7.

Равнобедренный треугольник, в котором проведена высота

Равнобедренный треугольник, в котором проведена высота к основанию

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, разбивает его на два равных треугольника. При решении задач вместо данного равнобедренного треугольника можно рассматривать его половину – прямоугольный треугольник. Фактически решение задачи сводится к решению прямоугольного треугольника (смотри I, II, III тип задач)

C

A

H

D

Задача, сводимая к задаче I типа

Пример. Задача, сводимая к задаче I типа.

Рассмотрим ? BAH. Это прямоугольный треугольник, в котором даны две стороны и надо найти косинус угла. Это задача I типа. Выразим косинус угла через стороны. Подставим данные значения. Очевидно, надо найти AH. По теореме Пифагора найдем: AH = 1

B

AB = BC AB = 5 BH =2?6 cosA = ?

5

2?6

C

А

H

B

cosA = AH/AC cosA = AH/5

5

2?6

cosA = 1/5 =0,2

H

A

Задача, сводимая к задаче II типа

Пример. Задача, сводимая к задаче II типа.

AH = HB = 16 CH – высота, значит и медиана. Рассмотрим ? CAH. Это прямоугольный треугольник, в котором дана сторона и косинус угла надо найти сторону. Это задача II типа. Найдем АС По теореме Пифагора найдем СH:

С

AC = BC AB = 32 cosA = 4/5 CH =?

?

В

А

H

C

cosA = 4/5 cosA = AH/AC AH/AC = 4/5 16/AC = 4/5 AC = 20

?

H

A

16

Решить задачи

В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=24, cos А = Найдите высоту СH В треугольнике АВС АС=ВС=8, sin B= Найдите АВ В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=2, sin A= Найдите АC.

В треугольнике АВС АС=ВС=4 АВ=6 Найдите cos А. В треугольнике АВС АС=ВС= АВ=10 Найдите tg А. В треугольнике АВС АС=ВС=15 АВ=18 Найдите sin А.

Проверь себя

C

С

AC= CH= 15

В

A

B

А

H

С

C

CH = HB = 6 AB = 12

A

B

В

А

H

C

С

cos A = ? AC = 4

A

B

В

А

H

4

cos A = ?=0,75

12

3

H

CH = 6 tg A = 6/5 = 1,2

8

5

H

CH = 12 sin A=12/15= 0,75

15

?

9

1

?

Высота проведена к боковой стороне

Равнобедренный треугольник, в котором высота проведена к боковой стороне.

A

A

A

C

H

H

H

C

H

C

B

C

H

B

C

B

Высота, проведенная к боковой стороне треугольник, в общем случае, не является медианой и биссектрисой. Но! Эта высота разбивает данный треугольник на два прямоугольных. Каждый из получившихся прямоугольных треугольников можно рассматривать отдельно. (I, II, III тип задач) Важно помнить, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, Поэтому вместо синуса одного из углов при основании можно рассматривать синус другого угла при основании. Это замечание верно для cos, и tg.

Найти сторону прямоугольного треугольника

Пример.

С

В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=6 cosA=3/5, АН –высота Найдите ВН. Очевидно, что Значит cosA = cosB = 3/5 Данная задача сводится к задаче II типа: найти сторону прямоугольного треугольника по известному косинусу и стороне

Н

?

Н

?

А

6

В

А

В

6

А

6

В

BH = 3,6

Н

?

Найдите sinA

Упражнения.

В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=20, высота АН=5. Найдите sinA В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=25, высота АН=15. Найдите cosA В треугольнике АВС АB=ВС, АC=16, высота CН=4. Найдите синус угла АСВ

С

Н

А

В

B

H

C

A

1задача sina= sinb= AH/AB sin A=5/20= 0,25

2задача cosA=cosB=HB/AB HB= 20 (т.Пифагора) cos A=20/25=0,8

3 задача sin acb=sin A= =CH/AC=4/16=0,25

Тупоугольный равнобедренный треугольник

в котором высота проведена к боковой стороне.

Сумма углов треугольника 180° . Поэтому в равнобедренном треугольнике тупым углом может быть только угол, образованный боковыми сторонами. Высота, опущенная из вершины основания образует прямой угол с продолжением боковой стороны. Она лежит вне треугольника На чертеже два прямоугольных треугольника. Прямой угол у них общий. Один треугольник лежит внутри другого. Эти треугольники можно рассматривать отдельно(I, II, III тип задач)

B

B

B

C

H

A

H

C

H

A

Задача сводится к решению прямоугольного АСН

Пример.

В тупоугольном треугольнике АВС АВ = ВС, АС=5, sin C=0,6 CH – высота. Найдите АН. Угол АСВ равен углу А, значит sin ACB= sin A Задача сводится к решению прямоугольного АСН (II тип) sin A = CH/AC CH/5=0,6=3/5 CH=3 по теореме Пифагора АН=4

С

5

В

H

A

С

5

H

A

?

Найдите синус угла АСВ

Упражнения.

0,5

0,28

В тупоугольном треугольнике АВС АВ=ВС, АС=25, СН - высота, АН = 24 Найдите синус угла АСВ

В тупоугольном треугольнике АВС АВ=ВС, АС=2, СН - высота, АН = ?3 Найдите синус угла АСВ

Применение формул приведения при решении прямоугольного треугольника

Часть 8.

Применение формул приведения при решении прямоугольного треугольника

Использование формул приведения

при решении прямоугольного треугольника.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°. Значит, синус одного равен косинусу другого и тангенс одного равен котангенсу другого Внешним углом треугольника называется угол смежный с одним из внутренних углов. При каждой вершине образуется два внешних угла Сумма смежных углов равна 180°. Значит, синус внутреннего угла и внешнего угла равны, а косинусы и тангенсы отличаются знаком

B

? + ? = 180° sin? = sin ?

В

? + ? = 90° sin ? = cos ? sin ? = cos ?

cos ? = - cos ? tg ? = - tg ?

?

tg ?=ctg ? tg ?=ctg ?

?

?

?

C

A

С

А

Пример использование формул приведения

В

cosB=sinA=4/5 Используя основное тригонометрическое тождество cos A= 3/5

С

A

- 3/5 = - 0,6

С

sin B=20/25=4/5

25

Н

15

А

В

4/5=0,8

В треугольнике АВС угол С равен 90°, cos B =4/5. Найдите косинус внешнего угла при вершине А В треугольнике АВС АС=ВС=25, АВ=30. Найдите синус внешнего угла при вершине В Проведем высоту СН. НВ=15 По теореме Пифагора СН=20

Найти косинус внешнего угла

Упражнения.

В ? АВС угол С=90°, cos В= 0,8. Найти sin A В ? АВС угол С=90°. cos В= 0,8. Найти cos A В треугольнике АВС угол С=90°. cos B= Найти косинус внешнего угла при вершине А

В

0,8

0,6

А

С

В

- 0,5

С

А

В треугольнике АВС угол С=90°

Упражнения.

В треугольнике АВС угол С=90°. АВ= ВС=6. Найти тангенс внешнего угла при вершине А В треугольнике АВС угол С=90°. AB=5. Косинус внеш-него угла при вершине В равен -0,6. Найти АС

B

6

- 0,6

С

A

A

5

4

С

B

Найти синус внешнего угла при вершине

Упражнения.

0,7

- 2

В ?АВС АС=ВС=10, АВ= Найти синус внешнего угла при вершине В. В ?АВС угол С равен 90°, АВ= , ВС=8. Найдите тангенс внешнего угла при вершине А

С

10

Н

А

В

B

8

С

A

Обобщение и систематизация изученного материала

Равнобедренный треугольник

Дан sin (cos, tg).

? = ?

Равнобедренный треугольник

Прямоугольный треугольник

Найти sin (cos, tg)

Найти прямоугольный треугольник. Провести высоту при необходимости

Найти сторону

Дана одна из сто- рон и cos (sin, tg)

Высота к основанию

Высота к боко- вой стороне

Даны 2 стороны

I, II, III тип задач

Формулы Приведения

II тип задач

III тип задач

Тупой

I тип задач

tg ?=sin?/cos?

cos2?+sin2 ?=1

Делит основание пополам

Теорема Пифагора