Решение задач координатным методом

Решение задач на нахождение расстояний и углов

в пространстве координатным методом.

Учитель математики МБОУ-СОШ №7 г.Клинцы Брянской области Коваленко С.Ф.

Математический диктант

Ответы для самопроверки математического диктанта.

Математический диктант

Записать в координатах : Условие коллинеарности двух векторов. Условие перпендикулярности двух векторов. Формулу для нахождения косинуса угла между векторами. Формулу для нахождения длины вектора. Уравнение плоскости.

Алгоритм решения задач

Ввести прямоугольную систему координат - на плоскости основания многогранника; - в пространстве. Найти координаты точек, о которых идет речь в условии задачи. Найти координаты - направляющих векторов прямых; - векторов, перпендикулярных плоскостям (нормалей). Воспользоваться соответствующей формулой для нахождения - расстояний в пространстве; - углов в пространстве.

Варианты

Введите прямоугольную систему координат, если в основании многогранника лежит... Какие еще возможны варианты?

Введите прямоугольную систему координат, если в основании многогранника лежит...

В основании многогранника

Введите прямоугольную систему координат , если в основании многогранника лежит...

B

Введите прямоугольную систему координат, если в основании многогранника лежит...

B

C

O

A

D

Введите прямоугольную систему координат

Введите прямоугольную систему координат

Назовите наклонную к плоскости

, ее проекцию на плоскость, проекции точек В и М.

АВ – наклонная к плоскости ?

ВС – перпендикуляр к плоскости ?

АС – проекция наклонной АВ на плоскость ?

?

С – проекция точки В

М1 – проекция точки М

?

М

М1

Отрезки

На какие отрезки в плоскости основания попадают проекции точек Р, М, S, K, N?

K

N

S

Отрезки в плоскости основания

На какие отрезки в плоскости основания попадают проекции точек А1, S, Р? Почему?

Проекциями каких точек являются точки B, E, D в плоскости основания призмы?

Составьте уравнение плоскости

по 3 точкам:

Уравнения координатных плоскостей

Составьте самостоятельно уравнения координатных плоскостей.

Решите задачу

В кубе АВСDА1В1С1D1, сторона которого равна 3, на диагоналях граней АD1 и D1В1 взяты точки Е и К так, что D1Е:АD1=1:3, D1K:D1B1=2:3. Найдите длину отрезка DK.

Решение.

Найдите расстояние

Решите задачу. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до точек Е1, D1.

y

x

Рёбра

500013. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до плоскости DEA1.

y

x

Найдите расстояние между прямыми

484577. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АА1 и ВС1. Решение.

Найдем расстояние от точки А до плоскости ВСС1

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от точки на одной прямой до плоскости, содержащей вторую прямую и параллельной первой прямой.

1. Введем систему координат с началом в точке О, как показано на рисунке.

Расстояние между плоскостями сечений куба

Решите задачу. Найдите расстояние между плоскостями сечений куба (PRS) и (NKM), ребро которого 12, где DN:NC=A1P:PB1=1:2, B1S:SB=D1M:MD1=1:3, B1R:RC1=DK:KA=1:4. Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке В, как показано на рисунке.

2. В(0; 0; 0); p(6; 0; 12); r(0; 3; 12); s(0; 0; 8); n(6; 12; 0); k(12; 9; 0); m(12; 12; 4)

3. Уравнение плоскости (PRS) имеет вид 2x+4y-3z+24=0, а уравнение плоскости (NKM) 2x+4y-3z-60=0, значит, плоскости параллельны.

Точка

500387. На ребре СС1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE:EC1=2:1 . Найдите угол между прямыми BE и AC1 .

Стороны основания

500347. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2, точка D — середина ребра CC1 Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.

Длины ребер

484568. Длины ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD с вершиной Р равны между собой. Найдите угол между прямой ВМ и плоскостью BDP, если точка М – середина бокового ребра пирамиды АР.

Ромб

500001. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD со стороной , а угол BAD равен 60°. Найти расстояние от точки А до прямой С1D1, если боковое ребро параллелепипеда равно 8.

Где лежит проекция точки К1?

1. Как введем прямоугольную систему координат?

Т.к. диагонали ромба перпендикулярны, то начало координат можно взять в точке их пересечения.

2. Координаты каких точек надо найти?

60°

А, С1, D1 и основания перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую С1D1 – точки К1.

На прямой СD.

Пусть К1(х0,у0,z0), ее проекция К(х0,у0,0)

Угол

500001. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, со стороной , а угол BAD равен 60°. Найти расстояние от точки А до прямой С1D1, если боковое ребро параллелепипеда равно 8.

Найдем остальные координаты точки К1.

Домашнее задание

решите задачи по выбору.

№ 484559, 484569, 485992, 485997, 500007, 500193, 500367 на сайте http://reshuege.Ru

1. Ребра правильной четырехугольной призмы равны 1, 4, 4. Найти расстояние от вершины до центра основания призмы, не содержащего эту вершину.

2. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до точек Е1, D1.

3. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K – середины ребер AA1 и CD соответственно, а точка M расположена на диагонали B1D1 так, что B1M=2MD1. Найти расстояние между точками Q и L, где Q – середина отрезка ЕМ, а L – точка отрезка МК такая, что ML=2LK.

Тексты задач

При разработке презентации были использованы тексты задач 1. http://reshuege.ru – образовательный портал для подготовки к экзаменам. 2. www.alexlarin.narod.ru – сайт по оказанию информационной поддержки студентам и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ, поступлению в ВУЗы и изучении различных разделов высшей математики.

Литература Потоскуев Е.В. Геометрия 10 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений с углубленным и профильным изучением математики/ Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич. – 5-е изд., стереотип. – М.: Дрофа. 2007. – 223, [1]c.: ил.