Сечения параллелепипеда и тетраэдра

Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда

© Ткачева Виктория Викторовна, учитель математики школы № 183 с углубленным изучением английского языка.

Санкт-Петербург, 2007год.

Понятие секущей плоскости

Содержание:

Цели и задачи. Введение. Понятие секущей плоскости. Определение сечения. Правила построения сечений. Виды сечений тетраэдра. Виды сечений параллелепипеда. Задача на построение сечения тетраэдра с объяснением. Задача на построение сечения тетраэдра с объяснением. Задача на построение сечения тетраэдра по наводящим вопросам. Второй вариант решения предыдущей задачи. Задача на построение сечения параллелепипеда. Задача на построение сечения параллелепипеда. Пожелание учащимся.

Познакомить с правилами построения сечений

Выработать навыки построения сечений тетраэдра и параллелепипеда при различных случаях задания секущей плоскости. Сформировать умение применять правила построения сечений при решении задач по темам «Многогранники».

Цель работы:

Развитие пространственных представлений у учащихся.

Задачи:

Сечения

Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения различными плоскостями.

Любая плоскость

Секущей плоскостью параллелепипеда (тетраэдра) называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда (тетраэдра).

Секущая плоскость

пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам.

Многоугольник, сторонами которого являются данные отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда).

Точки пересечения секущей плоскости с ребрами

При этом необходимо учитывать следующее:

Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками.

1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани.

2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам.

3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.

Многоугольники

Какие многоугольники могут получиться в сечении ?

Тетраэдр имеет 4 грани

В сечениях могут получиться:

Треугольники

Четырехугольники

Параллелепипед

имеет 6 граней.

Треугольники

Пятиугольники

Четырехугольники

Шестиугольники

В его сечениях могут получиться:

Построить сечение тетраэдра

DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K.

Проведем прямую через точки М и К, т.к. они лежат в одной грани (АDC).

2. Проведем прямую через точки К и N, т.к. они лежат в одной грани (СDB).

3. Аналогично рассуждая, проводим прямую MN.

4. Треугольник MNK – искомое сечение.

Сечение тетраэдра

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K.

D

1. Проводим КF.

2. Проводим FE.

3. Продолжим EF, продол- жим AC.

F

E

5. Проводим MK.

M

C

A

7. Проводим EL

L

EFKL – искомое сечение

K

B

Правила

Построить сечение тетраэдра плоскостью

проходящей через точки E, F, K.

D

С какой точкой, лежащей в той же грани можно соединить полученную дополнительную точку?

Какие прямые можно продолжить, чтобы получить дополнительную точку?

Соедините получившиеся точки, лежащие в одной грани, назовите сечение.

ЕК и АС

Какие точки можно сразу соединить?

С точкой F

Еlfk

F и K, Е и К

F

L

C

M

A

E

K

B

Правила

Второй способ

Правила

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K.

D

F

L

C

A

E

K

B

Правила

Первый способ

О

Независимо от способа построения сечения одинаковые

Вывод: независимо от способа построения сечения одинаковые.

Способ №2.

Способ №1.

Построить сечения параллелепипеда

плоскостью, проходящей через точки В1, М, N.

Правила

В1

D1

С1

A1

P

К

В

Е

D

А

N

С

M

6. Км

O

7. Продолжим MN и BD.

1. MN

3.MN ? BA=O

8. MN ? BD=E

2.Продолжим MN,ВА

4. В1о

9. В1e

5. В1о ? а1а=к

10. B1е ? d1d=p , pn

Построить сечение параллелепипеда плоскостью

проходящей через точки M,A,D.

В1

D1

E

М

A1

С1

В

D

А

С

1. AD

2. MD

3. ME//AD, т.К. (Abc)//(a1b1c1)

4. AE

5. AEMD – сечение.

Вы многое узнали и многое увидели

Так вперед, ребята: дерзайте и творите!

Спасибо за внимание.