№ | Слайд | Текст |
1 |
 |
|
2 |
 |
СтереометрияОбъёмы тел Изображения пространственных фигур |
3 |
 |
Карандаш «Мой карандаш, бывает еще остроумней моей головы», — признавался великий математик Леонард Эйлер (1707—1783). Интуитивное, живое пространственное воображение в сочетании со строгой логикой мышления — это ключ к изучению стереометрии В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул. Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется стереометрией |
4 |
 |
Геометрия Мы знаем, что. ГЕОМЕТРИЯ возникла из практических задач людей; ГЕОМЕТРИЯ лежит в основе всей техники и большинства изобретений человечества; ГЕОМЕТРИЯ нужна Технику, инженеру, рабочему, архитектору, модельеру … |
5 |
 |
ПланиметрияГеометрия Стереометрия «Планиметрия» – наименование смешанного происхождения: от греч. Metreo – измерять и лат. Planum – плоская поверхность (плоскость) «Стереометрия» – от греч. Stereos – пространственный (stereon – объем). ГЕОМЕТРИЯ на плоскости ГЕОМЕТРИЯ в пространстве |
6 |
 |
Основные понятия стереометрииТочка, прямая, плоскость, расстояние ? = (Ркс) A?? , KC ? ? , P ? ? , |PK| = 2 см |PK| |
7 |
 |
Аксиомы стереометрииСлово «аксиома» греческого происхождения и в переводе означает истинное, исходное положение теории. Система аксиом стереометрии дает описание свойств пространства и основных его элементов Понятия «точка», «прямая», «плоскость», «расстояние» принимаются без определений: их описание и свойства содержатся в аксиомах |
8 |
 |
Аксиомыстереометрии. А-1 ? = (Ркс) Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна |
9 |
 |
Точки прямой Аксиомы стереометрии. А-2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости m Если М, c ? ? М, C ? m, То m ? ? |
10 |
 |
Плоскости Аксиомы стереометрии. А-3 ? ? ? = m М ? ?, М ? ?, М ? m m ? ?, m ? ? Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. |
11 |
 |
Следствия из аксиомТ-1 В А М Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну. Дано: М?m Доказательство Пусть точки A, B ? m. Так как М?m, то точки А, В и M не принадлежат одной прямой. По А-1 через точки А, В и M проходит только одна плоскость — плоскость (ABM), Обозначим её ?. Прямая m имеет с ней две общие точки — точки A и B, следовательно, по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости ?.. Таким образом, плоскость ? проходит через прямую m и точку M и является искомой. Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M, не существует. Предположим, что есть другая плоскость — ?, проходящая через прямую m и точку M. Тогда плоскости ? и ? проходят через точки А, В и M, не принадлежащие одной прямой, а значит, совпадают. Следовательно, плоскость ? единственна. Теорема доказана |
12 |
 |
Пересекающиеся прямые Следствия из аксиом. Т-2 Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. Дано: m ? n = M Доказательство N Рассмотрим плоскость ? =(n, N). Так как M? ? и N??, то по А-2 m ? ?. Значит обе прямые m, n лежат в плоскости ? и следовательно ?, является искомой Докажем единственность плоскости ?. Допустим, что есть другая, отличная от плоскости ? и проходящая через прямые m и n, плоскость ?. Так как плоскость ? проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N, то по T-1 она совпадает с плоскостью ?. Единственность плоскости ? доказана. Теорема доказана Отметим на прямой m произвольную точку N, отличную от М. |
13 |
 |
Плоскость Вывод. Как в пространстве можно однозначно задать плоскость? По трем точкам, не лежащим на одной прямой По прямой и точке, не лежащей на этой прямой По двум пересекающимся прямым По двум параллельным прямым |
14 |
 |
Определение объема телаОпределение Тело называется простым, если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид. В частности, любой выпуклый многогранник является простым телом. Определение Объемом тела называется положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и обладающая следующими свойствами: равные тела имеют равные объемы; при параллельном переносе тела его объем не изменяется; |
15 |
 |
Тела с равными объемаминазываются равновеликими . Определение Из свойства 2 следует, что если тело с объемом V 1 содержится внутри тела с объемом V 2, то V 1 < V 2. За единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины; если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей; |
16 |
 |
Объем прямоугольного параллелепипеда Теорема 1. Теорема 2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений: V = abc Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту: V = SH . Данная призма и призма ABDA1B1D1, которая дополняет данную призму до параллелепипеда, симметричны относительно точки O , а поэтому равновелики. Пусть ABCA 1 B 1 C 1 – прямая треугольная призма, причем ее основание – прямоугольный треугольник ABC Дополним эту призму до прямоугольного параллелепипеда ACBDA 1 C 1 B 1 D 1. Середина O диагонали AB 1 этого параллелепипеда является его центром симметрии. |
17 |
 |
Объемы призмы Пусть V и V 1 – соответственно объемы призмы ABCA 1 B 1 C 1 и параллелепипеда, Тогда, учитывая теорему1, получим Рассмотрим произвольную прямую треугольную призму ABCA1B1C1 Если ? ABC не прямоугольный, то его можно разбить на два прямоугольных треугольника ADC и BDC . Следовательно, V = V 1 + V 2 = S ? ADC · H + S ? BDC · H = S? ABC · H = S · H . Таким образом, теорема справедлива для произвольной прямой треугольной призмы. Если есть прямая n -угольная призма ( n > 3), разобьем ее на конечное число прямых треугольных призм Сложив объемы этих треугольных призм, получим объем n -угольной призмы V = V 1 + V 2 + ... + V n = ( S 1 + S 2 + ... + S n ) H = S · H , где S 1, S 2, ..., S n – площади оснований треугольных призм, S и H – площадь основания и высота n -угольной призмы. |
18 |
 |
Два прямоугольных треугольника Рассмотрим произвольную прямую треугольную призму ABCA 1 B 1 C 1 Если ? ABC не прямоугольный, то его можно разбить на два прямоугольных треугольника ADC и BDC . Следовательно, V = V1 + V2 = S? ADC · H + S? BDC · H = S ? ABC · H = S · H . Таким образом, теорема справедлива для произвольной прямой треугольной призмы. Если есть прямая n -угольная призма ( n > 3), разобьем ее на конечное число прямых треугольных призм. Сложив объемы этих треугольных призм, получим объем n -угольной призмы V = V 1 + V 2 + ... + V n = ( S 1 + S 2 + ... + S n ) H = S · H , где S 1, S 2, ..., S n – площади оснований треугольных призм, S и H – площадь основания и высота n -угольной призмы. |
19 |
 |
Объем наклонной призмы Теорема 3. Объем наклонной призмы равен площади перпендикулярного сечения на боковое ребро: V = S пс Пусть ABCA1B1C1 – наклонная призма (чертеж 6.1.4), A2B2C2 и A3B3C3 – перпендикулярные сечения этой призмы. Призма A2B2C2A3B3C3 прямая, причем A2A3=A1A .Заметим, что параллельный перенос на вектор переводит многогранник A 2 B 2 C 2 A 1 B 1 C 1 в многогранник A 3 B 3 C 3 ABC . Следовательно, эти многогранники равновеликие. Пусть V – объем призмы ABCA 1 B 1 C 1, V 1 – объем призмы A 3 B 3 C 3 A 2 B 2 C 2, V 2 – объем многогранника A 2 B 2 C 2 ABC , тогда V + V 2 = V1 + V2, откуда V = V 1. Поскольку призма A 3 B 3 C 3 A 2 B 2 C 2 прямая, то V 1 = S ? A 3 B 3 C 3 · A 2 A 3 = Sпс · l = V , что и требовалось доказать |
20 |
 |
Перпендикулярное сечение Теорема 4. Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S · H . Пусть A 2 B 2 C 2 – перпендикулярное сечение наклонной призмы ABCA 1 B 1 C 1, A 1 O – высота этой призмы. Пусть . Поскольку , а , то плоскости A2B2C2 и ABC образуют тот же угол ?, что и прямые A 1 A и A 1 O . По теореме о площади ортогональной проекции SA2B2C2 = S AB С cos ?. Согласно теореме 3 V = S A 2 B 2 C 2 · A 1 A = S AB С cos ? · A 1 A = SABС · A 1 O = S · H . |
21 |
 |
Многогранник Объёмы тел и их изображение в пространстве. Объём: V = Sh S — площадь основания Многогранник — тело, ограниченное плоскостями. Призма — многогранник, основания которого равные многоугольники, боковые грани — параллелограммы. АВ — ребро; h — высота . |
22 |
 |
Прямоугольники Прямоугольный параллелепипед — у которого основания прямоугольники, а рёбра перпендикулярны основанию. Рёбра: а — длина, b — ширина, с — высота; d — диагональ (все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны). Параллелепипед — призма, у которой основания параллелограммы. Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке Объём: V = a•b•c Полная поверхность: S = 2(ab + bc + ca) d 2 = a 2 + b 2 + c 2 |
23 |
 |
Плоскости изображения Другими словами, любые три отрезка AB, CD и AA' плоскости изображения с общим концом А, ни какие два из которых не лежат на одной прямой, можно считать изображением рёбер AоBо, AоDо и AоА? параллелепипеда. Для построения изображения произвольного параллелепипеда AоBоCоDоA?B?С?D? заметим, что точки Ао, Во, Dо и А? являются вершинами тетраэдры АоВоDоА?. Поэтому в качестве их изображения можно взять вершины произвольного четырёхугольника АВDА'. |
24 |
 |
Параллелепипед Таким образом параллелепипед ABCDA'B'C'D' является изображением параллелепипеда AоBоCоDоA?B?С?D? . Но тогда изображения остальных рёбер строятся однозначно, так как все грани параллелепипеда являются параллелограммами, и, следовательно, их изображения также будут параллелограммами. |
25 |
 |
Прямоугольный параллелепипед Куб — прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты. а=b=с. Число граней – 6, форма граней – квадраты, число ребер – 12, число вершин – 8. V = а 3 (отсюда и название третьей степени — «куб»), d — диагональ S = 6a 2 d 2 =3a 2 |
26 |
 |
Пирамида–. Основание Многогранник, основание которого многоугольник, А остальные грани - треугольники, Имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т.д. |
27 |
 |
Тетраэдр–. 3 1 2 4 Это один из пяти типов правильных многогранников; правильная треугольная пирамида; Под изображением многогранника следует понимать фигуру, состоящую из проекций всех его рёбер. Форма граней – треугольники, Число граней – 4, Число ребер – 6, Число вершин – 4. |
28 |
 |
Фигурасостоящая из сторон и диагоналей любого (выпуклого или невыпуклого) четырёхугольника, является изображением тетраэдра при соответствующем выборе плоскости изображений и направления проектирования. На этих рисунках невидимые рёбра изображены штриховыми линиями. |
29 |
 |
ОтрезкиAB, BC, CA, AD, BD, CD служат сторонами и диагоналями четырёхугольника ABCD. Фигура, образованная из этих отрезков (или любая другая фигура, подобная ей), является изображением тетраэдра A0B0C0D0 . Пусть A0B0C0D0 – произвольный тетраэдр, A, B, C и D – параллельные проекции его вершин на плоскость изображений (?). |
30 |
 |
Усеченная пирамида– плоскость сечения которой параллельна плоскости основания. |
31 |
 |
ОктаэдрВиды многогранников • Число граней – 8, форма граней – треугольники, число ребер – 12, число вершин – 6. |
32 |
 |
ДодекаэдрВиды многогранников • Число граней – 12, форма граней – пятиугольники, число ребер – 30, число вершин – 20. |
33 |
 |
ИкосаэдрВиды многогранников Число граней – 20, форма граней – треугольники, число ребер – 30, число вершин – 12. |
34 |
 |
ЦилиндрыТела вращения • Круглый прямой. • Круглый усеченный S – площадь боковой поверхности. V – объем. |
35 |
 |
Тела вращенияСфера – поверхность шара |
36 |
 |
Шаровой сектор Тела вращения. Шаровой сектор. R — радиус шара; а — радиус окружности сечения; h — высота отсекаемой шляпки |
37 |
 |
Шаровой сегмент Тела вращения. Шаровой сегмент R — радиус шара; а — радиус окружности сечения; h — высота отсекаемой шляпки |
38 |
 |
Шаровой слой Тела вращения. Шаровой слой R — радиус шара, a , b — радиусы окружностей сечений, h — высота слоя |
39 |
 |
Требования к качеству чертежа При решении стереометрических задач высоки требования к качеству чертежа, его наглядности. Нельзя научиться решать сколько-нибудь содержательные стереометрические задачи, не освоив принципы и технику построения пространственного чертежа. Сюда входит: выбор оптимального положения изображаемого тела (в частности, выбор ориентации - верх и низ, право и лево), выбор ракурса и проекции, умение минимизировать количество изображенных линий (напомним, что видимые и невидимые линии должны изображаться различным образом), умение строить сечения и проекции на плоскость, умение выделить на пространственном чертеже и соответственно изобразить плоскую конфигурацию, дающую ключ к решению задачи, умение перевести условие задачи на графический язык. |
40 |
 |
|
«Стереометрия» |