Стереометрия

Стереометрия

Объёмы тел Изображения пространственных фигур

Карандаш

«Мой карандаш, бывает еще остроумней моей головы», — признавался великий математик Леонард Эйлер (1707—1783).

Интуитивное, живое пространственное воображение в сочетании со строгой логикой мышления — это ключ к изучению стереометрии

В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул. Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется стереометрией

Геометрия

Мы знаем, что.

ГЕОМЕТРИЯ возникла из практических задач людей; ГЕОМЕТРИЯ лежит в основе всей техники и большинства изобретений человечества; ГЕОМЕТРИЯ нужна

Технику, инженеру, рабочему, архитектору, модельеру …

Планиметрия

Геометрия

Стереометрия

«Планиметрия» – наименование смешанного происхождения: от греч. Metreo – измерять и лат. Planum – плоская поверхность (плоскость)

«Стереометрия» – от греч. Stereos – пространственный (stereon – объем).

ГЕОМЕТРИЯ на плоскости

ГЕОМЕТРИЯ в пространстве

Основные понятия стереометрии

Точка, прямая, плоскость, расстояние

? = (Ркс)

A?? , KC ? ? , P ? ? , |PK| = 2 см

|PK|

Аксиомы стереометрии

Слово «аксиома» греческого происхождения и в переводе означает истинное, исходное положение теории.

Система аксиом стереометрии дает описание свойств пространства и основных его элементов

Понятия «точка», «прямая», «плоскость», «расстояние» принимаются без определений: их описание и свойства содержатся в аксиомах

Аксиомы

стереометрии.

А-1

? = (Ркс)

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна

Точки прямой

Аксиомы стереометрии.

А-2

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

m

Если

М, c ? ?

М, C ? m,

То

m ? ?

Плоскости

Аксиомы стереометрии.

А-3

? ? ? = m

М ? ?, М ? ?, М ? m

m ? ?, m ? ?

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствия из аксиом

Т-1

В

А

М

Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Дано: М?m

Доказательство

Пусть точки A, B ? m.

Так как М?m, то точки А, В и M не принадлежат одной прямой. По А-1 через точки А, В и M проходит только одна плоскость — плоскость (ABM), Обозначим её ?. Прямая m имеет с ней две общие точки — точки A и B, следовательно, по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости ?.. Таким образом, плоскость ? проходит через прямую m и точку M и является искомой. Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M, не существует. Предположим, что есть другая плоскость — ?, проходящая через прямую m и точку M. Тогда плоскости ? и ? проходят через точки А, В и M, не принадлежащие одной прямой, а значит, совпадают. Следовательно, плоскость ? единственна. Теорема доказана

Пересекающиеся прямые

Следствия из аксиом.

Т-2

Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Дано: m ? n = M

Доказательство

N

Рассмотрим плоскость ? =(n, N). Так как M? ? и N??, то по А-2 m ? ?. Значит обе прямые m, n лежат в плоскости ? и следовательно ?, является искомой Докажем единственность плоскости ?. Допустим, что есть другая, отличная от плоскости ? и проходящая через прямые m и n, плоскость ?. Так как плоскость ? проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N, то по T-1 она совпадает с плоскостью ?. Единственность плоскости ? доказана. Теорема доказана

Отметим на прямой m произвольную точку N, отличную от М.

Плоскость

Вывод.

Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?

По трем точкам, не лежащим на одной прямой По прямой и точке, не лежащей на этой прямой По двум пересекающимся прямым По двум параллельным прямым

Определение объема тела

Определение Тело называется простым, если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид. В частности, любой выпуклый многогранник является простым телом.

Определение Объемом тела называется положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и обладающая следующими свойствами: равные тела имеют равные объемы; при параллельном переносе тела его объем не изменяется;

Тела с равными объемами

называются равновеликими .

Определение

Из свойства 2 следует, что если тело с объемом V 1 содержится внутри тела с объемом V 2, то V 1 < V 2.

За единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины; если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей;

Объем прямоугольного параллелепипеда

Теорема 1.

Теорема 2.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений: V = abc

Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту: V = SH .

Данная призма и призма ABDA1B1D1, которая дополняет данную призму до параллелепипеда, симметричны относительно точки O , а поэтому равновелики.

Пусть ABCA 1 B 1 C 1 – прямая треугольная призма, причем ее основание – прямоугольный треугольник ABC Дополним эту призму до прямоугольного параллелепипеда ACBDA 1 C 1 B 1 D 1. Середина O диагонали AB 1 этого параллелепипеда является его центром симметрии.

Объемы призмы

Пусть V и V 1 – соответственно объемы призмы ABCA 1 B 1 C 1 и параллелепипеда,

Тогда, учитывая теорему1, получим

Рассмотрим произвольную прямую треугольную призму ABCA1B1C1 Если ? ABC не прямоугольный, то его можно разбить на два прямоугольных треугольника ADC и BDC . Следовательно, V = V 1 + V 2 = S ? ADC · H + S ? BDC · H = S? ABC · H = S · H . Таким образом, теорема справедлива для произвольной прямой треугольной призмы. Если есть прямая n -угольная призма ( n > 3), разобьем ее на конечное число прямых треугольных призм Сложив объемы этих треугольных призм, получим объем n -угольной призмы V = V 1 + V 2 + ... + V n = ( S 1 + S 2 + ... + S n ) H = S · H , где S 1, S 2, ..., S n – площади оснований треугольных призм, S и H – площадь основания и высота n -угольной призмы.

Два прямоугольных треугольника

Рассмотрим произвольную прямую треугольную призму ABCA 1 B 1 C 1 Если ? ABC не прямоугольный, то его можно разбить на два прямоугольных треугольника ADC и BDC . Следовательно, V = V1 + V2 = S? ADC · H + S? BDC · H = S ? ABC · H = S · H . Таким образом, теорема справедлива для произвольной прямой треугольной призмы. Если есть прямая n -угольная призма ( n > 3), разобьем ее на конечное число прямых треугольных призм.

Сложив объемы этих треугольных призм, получим объем n -угольной призмы V = V 1 + V 2 + ... + V n = ( S 1 + S 2 + ... + S n ) H = S · H , где S 1, S 2, ..., S n – площади оснований треугольных призм, S и H – площадь основания и высота n -угольной призмы.

Объем наклонной призмы

Теорема 3.

Объем наклонной призмы равен площади перпендикулярного сечения на боковое ребро: V = S пс

Пусть ABCA1B1C1 – наклонная призма (чертеж 6.1.4), A2B2C2 и A3B3C3 – перпендикулярные сечения этой призмы. Призма A2B2C2A3B3C3 прямая, причем A2A3=A1A .Заметим, что параллельный перенос на вектор переводит многогранник A 2 B 2 C 2 A 1 B 1 C 1 в многогранник A 3 B 3 C 3 ABC . Следовательно, эти многогранники равновеликие. Пусть V – объем призмы ABCA 1 B 1 C 1, V 1 – объем призмы A 3 B 3 C 3 A 2 B 2 C 2, V 2 – объем многогранника A 2 B 2 C 2 ABC , тогда V + V 2 = V1 + V2, откуда V = V 1. Поскольку призма A 3 B 3 C 3 A 2 B 2 C 2 прямая, то V 1 = S ? A 3 B 3 C 3 · A 2 A 3 = Sпс · l = V , что и требовалось доказать

Перпендикулярное сечение

Теорема 4.

Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S · H .

Пусть A 2 B 2 C 2 – перпендикулярное сечение наклонной призмы ABCA 1 B 1 C 1, A 1 O – высота этой призмы. Пусть . Поскольку , а , то плоскости A2B2C2 и ABC образуют тот же угол ?, что и прямые A 1 A и A 1 O . По теореме о площади ортогональной проекции SA2B2C2 = S AB С cos ?. Согласно теореме 3 V = S A 2 B 2 C 2 · A 1 A = S AB С cos ? · A 1 A = SABС · A 1 O = S · H .

Многогранник

Объёмы тел и их изображение в пространстве.

Объём: V = Sh S — площадь основания

Многогранник — тело, ограниченное плоскостями. Призма — многогранник, основания которого равные многоугольники, боковые грани — параллелограммы. АВ — ребро; h — высота

.

Прямоугольники

Прямоугольный параллелепипед — у которого основания прямоугольники, а рёбра перпендикулярны основанию. Рёбра: а — длина, b — ширина, с — высота; d — диагональ (все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны).

Параллелепипед — призма, у которой основания параллелограммы. Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке

Объём: V = a•b•c Полная поверхность: S = 2(ab + bc + ca) d 2 = a 2 + b 2 + c 2

Плоскости изображения

Другими словами, любые три отрезка AB, CD и AA' плоскости изображения с общим концом А, ни какие два из которых не лежат на одной прямой, можно считать изображением рёбер AоBо, AоDо и AоА? параллелепипеда.

Для построения изображения произвольного параллелепипеда AоBоCоDоA?B?С?D? заметим, что точки Ао, Во, Dо и А? являются вершинами тетраэдры АоВоDоА?.

Поэтому в качестве их изображения можно взять вершины произвольного четырёхугольника АВDА'.

Параллелепипед

Таким образом параллелепипед ABCDA'B'C'D' является изображением параллелепипеда AоBоCоDоA?B?С?D? .

Но тогда изображения остальных рёбер строятся однозначно, так как все грани параллелепипеда являются параллелограммами, и, следовательно, их изображения также будут параллелограммами.

Прямоугольный параллелепипед

Куб — прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты. а=b=с.

Число граней – 6, форма граней – квадраты, число ребер – 12, число вершин – 8.

V = а 3 (отсю­да и название третьей степени — «куб»), d — диагональ

S = 6a 2 d 2 =3a 2

Пирамида

–.

Основание

Многогранник, основание которого многоугольник,

А остальные грани - треугольники,

Имеющие общую вершину.

По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т.д.

Тетраэдр

–.

3

1

2

4

Это один из пяти типов правильных многогранников; правильная треугольная пирамида;

Под изображением многогранника следует понимать фигуру, состоящую из проекций всех его рёбер.

Форма граней – треугольники,

Число граней – 4,

Число ребер – 6,

Число вершин – 4.

Фигура

состоящая из сторон и диагоналей любого (выпуклого или невыпуклого) четырёхугольника, является изображением тетраэдра при соответствующем выборе плоскости изображений и направления проектирования.

На этих рисунках невидимые рёбра изображены штриховыми линиями.

Отрезки

AB, BC, CA, AD, BD, CD служат сторонами и диагоналями четырёхугольника ABCD. Фигура, образованная из этих отрезков (или любая другая фигура, подобная ей), является изображением тетраэдра A0B0C0D0 .

Пусть A0B0C0D0 – произвольный тетраэдр, A, B, C и D – параллельные проекции его вершин на плоскость изображений (?).

Усеченная пирамида

– плоскость сечения которой параллельна плоскости основания.

Октаэдр

Виды многогранников

• Число граней – 8, форма граней – треугольники, число ребер – 12, число вершин – 6.

Додекаэдр

Виды многогранников

• Число граней – 12, форма граней – пятиугольники, число ребер – 30, число вершин – 20.

Икосаэдр

Виды многогранников

Число граней – 20, форма граней – треугольники, число ребер – 30, число вершин – 12.

Цилиндры

Тела вращения

• Круглый прямой. • Круглый усеченный S – площадь боковой поверхности. V – объем.

Тела вращения

Сфера – поверхность шара

Шаровой сектор

Тела вращения.

Шаровой сектор.

R — радиус шара; а — радиус окружности сечения; h — высота отсекаемой шляпки

Шаровой сегмент

Тела вращения.

Шаровой сегмент

R — радиус шара; а — радиус окружности сечения; h — высота отсекаемой шляпки

Шаровой слой

Тела вращения.

Шаровой слой

R — радиус шара, a , b — радиусы окружностей сечений, h — высота слоя

Требования к качеству чертежа

При решении стереометрических задач высоки требования к качеству чертежа, его наглядности.

Нельзя научиться решать сколько-нибудь содержательные стереометрические задачи, не освоив принципы и технику построения пространственного чертежа.

Сюда входит: выбор оптимального положения изображаемого тела (в частности, выбор ориентации - верх и низ, право и лево), выбор ракурса и проекции, умение минимизировать количество изображенных линий (напомним, что видимые и невидимые линии должны изображаться различным образом), умение строить сечения и проекции на плоскость, умение выделить на пространственном чертеже и соответственно изобразить плоскую конфигурацию, дающую ключ к решению задачи, умение перевести условие задачи на графический язык.