Три признака равенства треугольников

Признаки равенства треугольников

Треугольник и его элементы Задачи по теме «Первый признак равенства треугольников» Задачи по теме «Второй признак равенства треугольников» Задачи по теме «Третий признак равенства треугольников» Справочный материал (формулировка теоремы и ее доказательство): а) Первый признак равенства треугольников б) Второй признак равенства треугольников в) Третий признак равенства треугольников

Треугольник

Назовите: 1) сторону, лежащую против угла N : 2) сторону, лежащую против угла NDL: 3) угол, лежащий против стороны DN: 4) угол, лежащий против стороны DL: 5) углы, прилежащие к стороне NL: и

N

L

D

Рис. 1

Признак равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников.

Докажите, что OLF = OMN Решение: 1) Рассмотрим OLF и : а) OL = - по условию, б) OF = - по условию,

L

F

O

N

M

В) LOF = - как вертикальные углы.

Следовательно OLF = - по двум сторонам и углу между ними.

Рис. 2

Задача. Заполните пропуски.

Заполните пропуски

S.

Докажите, что ARS = BRS

Решение: 1) Рассмотрим ARS и

A

R

S

B

а) Сторона = - по условию. б) Сторона = - общая сторона. в) = - по условию. г) Следовательно, ARS = - по двум и углу . 2) Т. к. ASR= BSR, то соответственные стороны и углы равны, BR = AR = 18 см, BRS = ARS =

Рис. 3

15?

Задача. Заполните пропуски.

Второй

признак равенства треугольников.

Докажите, что AXO = BZO Решение:

B

X

O

Z

A

1) Рассмотрим BZO и

У них: а) Сторона = - по условию; б) = - по условию; в) = - как вертикальные. Следовательно AXO = - по стороне и двум прилежащим к ней .

Рис. 4

Задача.

Биссектриса угла

?

На рисунке 5 луч DF биссектриса угла ADF а) Докажите, что ADF = BDF; б) Найдите сторону BD и DBF. Решение: а) Рассмотрим ADF и . У них: 1) = - общая сторона; 2) = - по условию; 3) = , так как DF –

D

17 дм

A

B

F

биссектриса ADB. Следовательно, ADF = по и прилежащим к ней . б) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов, то есть сторона DB = = дм, B = = .

110?

Рис. 5

Задача.

Равенство соответствующих углов

Третий признак равенства треугольников.

а) Докажите, что CAN = BAN б) Найдите ABN. Решение: а) Рассмотрим и BAN. У них: 1) AC = - по условию; 2) CN = - по условию; 3) AN = AN – общая сторона. Значит, CAN = - по трем . б) Из равенства треугольников CAN и BAN следует равенство соответствующих углов, то есть ABN = = .

?

A

B

C

N

Рис. 6

108 ?

Угол

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рис. 7

Рассмотрим треугольники ABC и DEF, у которых AB=DE, AC=DF, углы A и D равны (рис. 7). Докажем, что ABC = DEF. Так как A = D, то треугольник ABC можно наложить на треугольник DEF так, что вершина A совместится с вершиной D, а стороны AB и AC наложатся соответственно на лучи DE и DF. Поскольку AB=DE, AC=DF, то сторона AB совместится со стороной DE, а сторона AC – со стороной DF; в частности, совместятся точки B и E, C и F. Следовательно, совместятся стороны BC и EF. Итак, треугольники ABC и DEF полностью совместятся, значит, они равны.

Теорема доказана.

C

A

B

E

F

D

Теорема

Сторона и два прилежащих к ней угла

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 8

Теорема доказана.

Рассмотрим треугольники ABC и DEF, у которых AB = DE, A = D, B = E (рис. 8). Докажем, что ABC= DEF. Наложим треугольник ABC на треугольник DEF так, чтобы вершина A совместилась с вершиной D, сторона AB – с равной ей стороной DE, а вершины C и F оказались по одну сторону от прямой DE. Так как A = D и B= E, то сторона AC наложится на луч DF, а сторона BC – на луч EF. Поэтому вершина C – общая точка сторон AC и BC – окажется лежащей как на луче DF, так и на луче EF и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей – вершиной F. Значит, совместятся стороны AC и DF, BC и EF. Итак, треугольники ABC и DEF полностью совместятся, поэтому они равны.

C

A

B

E

F

D

Теорема

Доказательство

Три стороны одного треугольника

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Теорема доказана.

А)

Б)

В)

C

E

Рассмотрим треугольники ABC и DEF, у которых AB = DE, BC = EF, CA = FD (рис. 9). Докажем, что ABC = DEF. Приложим треугольник ABC к треугольнику DEF так, чтобы вершина A совместилась с вершиной D, вершина B – с вершиной E, а вершины C и F оказались по разные стороны от прямой DE (рис. 10). Возможны три случая: луч FC проходит внутри угла DFE (рис. 10, а); луч FC совпадает с одной из сторон этого угла (рис. 10, б); луч FC проходит вне угла DFE (рис. 10, в). Рассмотрим первый случай (остальные случаи можете рассмотреть самостоятельно). Так как по условию теоремы стороны AC и DF, BC и EF равны, то треугольники DFC и EFC – равнобедренные (см. рис. 10, а). По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника 1 = 2, 3 = 4, поэтому DCE = DFE. Итак, AC = DF, BC = EF, C = F. Следовательно, треугольники ABC и DEF равны по первому признаку равенства треугольников.

F

B

A

D

Рис. 9

D (A)

D (A)

C

F

C

E (B)

F

E (B)

D (A)

C

F

E (B)

Рис. 10

Теорема

1

2

3

4