Трёхгранный угол

Урок 6

Трехгранный угол

Основное свойство трехгранного угла

Теорема. В трехгранном угле сумма плоских углов меньше 360? и сумма любых двух из них больше третьего. Дано: Оabc – трехгранный угол; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?.

Доказать: ? + ? + ? < 360?; 2) ? + ? > ?; ? + ? > ?; ? + ? > ?.

Дано: Оabc – трехгранный угол;

(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?.

Доказать: 2) ? + ? > ?; ? + ? > ?; ? + ? > ?.

Доказательство I. Пусть ? < 90?; ? < 90?; (ABC)?с. Тогда ?ОВС = 90? – ? < ?ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ?ОАС = 90? – ? < ?ОAВ. Следовательно, = 180? – (?ОАB + ?ОBA) < 180? – ((90? – ?) + (90? – ?)) = ? + ?. Если ? < 90?, то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если ? ? 90?, то они – очевидны.

Формула трех косинусов

Следствия. 1) Для вычисления угла между прямой и плоскостью применима формула:

2) Угол между прямой и плоскостью – наименьший из углов, которая эта прямая, образует с прямыми этой плоскости.

.

Дано: Оabc – трехгранный угол;

(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?.

Доказать: ? + ? + ? < 360?; 2) ? + ? > ?; ? + ? > ?; ? + ? > ?.

II. На ребрах данного угла отложим точки A’, B’ и C’ так, что |OA’| = |OB’| = |OC’| Тогда треугольники A’OB’, B’OC’ и С’OA’ – равнобедренные, а их углы при основаниях 1 – 6 – острые. Для трехгранных углов с вершинами A’, B’ и C’ применим неравенства, доказанные в пункте I: ?С’А’B’ < ?1 + ?6; ?А’B’C’ < ?2 + ?3; ?B’С’А’ < ?4 + ?5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180? < (?1 + ?2) + (?3 + ?4) + (?5 + ?6) = = (180? – ?) + (180? – ?) + (180? – ?) ? ? + ? + ? < 360?.

С’

Дано: Оabc – трехгранный угол; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?.

Доказать: ? + ? + ? < 360?; 2) ? + ? > ?; ? + ? > ?; ? + ? > ?.

III. Рассмотрим луч c’ – дополнительный лучу с и для трехгранного угла Оabc’ используем неравенство, доказанное в пункте II для произвольного трехгранного угла: (180? – ?) + (180? – ?) + ? < 360? ? ? + ? > ?. Аналогично доказываются и два остальных неравенства.

Следствие

В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине меньше 120?.

Определение

Трехгранные углы называются равными если равны все их соответствующие плоские и двугранные углы. Признаки равенства трехгранных углов. Трехгранные углы равны, если у них соответственно равны:

Два плоских угла и двугранный угол между ними; 2) два двугранных угла и плоский угол между ними; 3) три плоских угла; 4) три двугранных угла.

. Дан трехгранный угол Оabc

Пусть ? < 90?; ? < 90?; тогда рассмотрим (ABC)?с По теореме косинусов из ?CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC|?|BC|?cos.

Аналог теоремы косинусов

Аналогично, из ?OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO|?|BO|?cos?. Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO|?|BO|?cos? + 2|AC|?|BC|? = 0 ?

Заменим:

Тогда cos? = cos??cos? + sin??sin??cos

;

;

.

;

.

II

Пусть ? > 90?; ? > 90?, тогда рассмотрим луч с’, дополнительный к с, и соответствующий трехгранный угол Оаbс’, в котором плоские углы ? – ? и ? – ? – острые, а плоский угол ? и двугранный угол – те же самые.

По I.: cos? = cos(? – ?)?cos(? – ?) + sin(? – ?)?sin(? – ?)?cos

? cos? = cos??cos? + sin??sin??cos

III

Пусть ? < 90?; ? > 90?, тогда рассмотрим луч a’, дополнительный к a, и соответствующий трехгранный угол Оа’bс, в котором плоские углы ? и ? – ? – острые, третий плоский угол – (? – ?), а противолежащий ему двугранный угол – (? – ).

По I.: cos(? – ?) = cos??cos(? – ?) + sin??sin(? – ?)?cos(? – )

? cos? = cos??cos? + sin??sin??cos

a’

IV

Пусть ? = 90?; ? = 90?, тогда ? =.

и равенство, очевидно, выполняется. Если же только один из этих углов, например, ? = 90?, то доказанная формула имеет вид: cos? = sin??cos

? cos? = cos(90? – ?)?cos

= 90?, то cos? = cos??cos? – аналог теоремы Пифагора!

Следствие. Если