Угол между векторами

Угол между прямой и плоскостью

Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.

11 класс.

Повторяем теорию:

Как находят координаты вектора, если известны координаты его начала и конца?

Как находят координаты середины отрезка?

Как находят длину вектора?

Как находят расстояние между точками?

Как вы понимаете выражение «угол между векторами»?

Угол между векторами

Найдите углы между векторами а и b? a и c? a и d? B и c? d и f? d и c?

Условие коллинеарности векторов:

Какие векторы называются перпендикулярными?

Условие перпендикулярности векторов:

Задача №441

Повторяем теорию:

0

Что называется скалярным произведением векторов?

Чему равно скалярное произведение перпендикулярных векторов?

Чему равен скалярный квадрат вектора?

Свойства скалярного произведения?

Задача №444

Косинус угла между векторами

Задача №451(а) Задача №453

Вычисление углов между прямыми и плоскостями

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называют угол между прямой и её проекцией на плоскость.

1. Если a

?, то проекцией a на ? является т. А A=a?? (a,?)=90?

2. Если a||?, a1 - проекция a на ?, то a||a1, a1??. (a,?)=0?

Направляющий вектор прямой

А

В

А

Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой, если он лежит на самой прямой, либо на прямой, параллельной ей.

Визуальный разбор задач из учебника (п

48).

А)

Б)

?

?

? = ?

? = 1800 - ?

№1. Найти угол между двумя прямыми (пересекающимися или скрещивающимися), если известны координаты направляющих векторов этих прямых.

Ответ:

Визуальный разбор задач из учебника (п

48).

А)

Б)

№2. Найти угол между прямой и плоскостью, если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости..

А

?

?

А

?

?

?

?

?

№ 464 (а)

Ваши предложения…

Дано:

Найти: угол между прямыми АВ и CD.

Найдем координаты векторов и

2. Воспользуемся формулой:

? = 300

№ 466 (а)

Ответ:

Дано: куб АВСDA1B1C1D1 точка М принадлежит АА1 АМ : МА1 = 3 : 1; N – середина ВС

Вычислить косинус угла между прям. MN и DD1

1. Введем систему координат.

2. Рассмотрим DD1 и МN.

3. Пусть АА1= 4, тогда

4. Найдем координаты векторов DD1 и MN.

5. По формуле найдем cos?.

z

М

Х

N

У

Задача

Ваши предложения…

Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1; DA = 2; DC = 2; DD1 = 3.

Найти угол между прямыми СВ1 и D1B.

z

1. Введем систему координат Dxyz

2. Рассмотрим направляющие прямых D1B и CB1.

3

3. По формуле найдем cos?.

1

2

У

Х

№ 467 (а)

Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1; АВ = ВС = ? АА1

Найти угол между прямыми ВD и CD1.

1 способ:

z

1. Введем систему координат Bxyz

2. Пусть АА1= 2, тогда АВ = ВС = 1.

3. Координаты векторов:

Х

4. Находим косинус угла между прямыми:

У

№ 467 (а)

Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1; АВ = ВС = ? АА1

Найти угол между прямыми ВD и CD1.

1. Т.к. СD1|| ВА1, то углы между ВD и ВА1; ВD и СD1 – равны.

2. В ?вdа1: ва1 = v5, а1d = v5

3. ?ВDА: по теореме Пифагора

4. По теореме косинусов:

2 способ:

z

Х

У

Домашнее задание:

П. 48, №466, №454 №467 (б) – двумя способами.