Вычисление объёма тел

Объем тел

Стереометрия

Что изучают.

Стереометрия

Планиметрия

Единицы измерения площади плоской фигуры: см?; дм?; м?…

Единицы измерения объемов: см?; дм?; м?…

1 см

1 см

1 см

1 см

1 см

Усвоить понятие объёма

Цель урока:

Усвоить понятие объёма пространственной фигуры; Запомнить основные свойства объёма; Узнать формулы объёма прямоугольного параллелепипеда и прямоугольной призмы.

Объём многогранника

Чтобы найти объём многогранника, нужно разбить его на кубы с ребром, равным единице измерения.

V=20ед.3

Равные тела

имеют равные объемы.

Если тела А , В, С имеют равные размеры, то объемы этих тел – одинаковы.

Объем тела

V.

V=V1+V2

Если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей.

V2

V

V1

Напомним формулу объёма

V=abc.

С

b

А

Напомним формулу объёма прямоугольного параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда

V=a*b*c

1/10 n

a, b, c-конечные десятичные дроби Каждое ребро разбивается параллельными плоскостями, проведенными через точки деления ребер на равные части длиной 1/10 n. объем каждого полученного кубика будет равен 1/10 3n, т.к. длина ребер этого кубика 1/10 n , то а*10 n; в*10 n; с*10 n Т.к. n?+?, то Vn?V=авс V=a*b*c*10?n* 1/10 3n=a*b*c

Объем прямоугольного параллелепипеда, как геометрического тела

a.

b

c=H

a?b?c

Самым естественным образом определяется объем прямоугольного параллелепипеда, как геометрического тела составленного из определенного количества единичных кубов. А значит, его объем определяется как сумма объемов этих единичных кубов.

Объем прямой призмы

Следствие 1: Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. V=Soc*h, т.к. Sос.=a*b;h=c.

Следствие 2: Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник равен произведению площади основания на высоту. Т.к. ?ABD-1/2 ?АВСД?SABD=?SABCD?VABC=?SABCД*h= =SABD*h

В1

Построим сечение прямоугольного параллелепипеда , проходящее через диагонали верхнего и нижнего оснований

С1

А1

Д1

В

С

А

Д

V=abc:2

V=Sc

V=Sh

:2

V=abc

:2

V=abc

Понятие объема

Понятие объема в пространстве вводится аналогично понятию площади для фигур на плоскости. Определение 1. объемом тела называется положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и обладающая следующими свойствами: равные тела имеют равные объемы; при параллельном переносе тела его объем не изменяется; если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей; за единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины; Определение 2. Тела с равными объемами называются равновеликими. Из свойства 2 следует, что если тело с объемом V1 содержится внутри тела с объемом V2, то V1 < V2.

Тело

Решение: V=V1+V2-1/3V1=2/3V1+V2.

№647 б) Тело R состоит из тел Р и Q, имеющих соответственно объемы V1, V2. Выразить объем V тела R через V1 V2 если б) тела Р и Q имеют общую часть, объем которой равен 1/3V1

Р=v1

Q=V2

Найти объем прямоугольного параллелепипеда

h.

b

А

V=abc=sh= =11*12*15= =1980 ед3.

№ 648 а), Найти объем прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого равны а и b, а высота равна h, если а=11, b=12, h=15

Найдите объем куба

№649б) Найдите объем куба АВСДА1В1С1Д1 , если АС1=3?2.

Дано:

АВСДА1В1С1Д1 – куб, АС1=3?2

Найти: V- ?

Решение: Пусть ребро куба равно а, тогда из треугольника АДС АС2=а2+а2=2а2, Рассмотрим треугольник АСС1, найдем АС1

АС12=3а2 , выразим а

а=АС1/?3 = 3?2/?3=?6

V=(?6)3=6?6 (cм3) Ответ:V=6?6 (см3)

В1

С1

А1

Д1

В

С

Д

А

Кирпич

№ 651 Кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 25см, 12см и 6,5см. Плотность кирпича равна 1,8г/cм3. Найти его массу.

Решение:

Найдем объем тела V=25*12*6,5= 1950 (см3) Связь плотности тела с его массой и объемом P= m / V m= P*V m= 1,8*1950=3,51(кг).

Ответ : m =3,51кг.

Найдите объем прямой призмы

№ 658 Найдите объем прямой призмы АВСА1В1С1, если <ВАС=900, ВС=37см, АВ=35см, АА1=1,1дм.

С1 b1

С d b

Дано: АВСА1В1С1- прямая призма. <ВАС=900 ВС=37см, АВ=35см, АА1=1,1дм

Найти: V-?

Решение: V= SАВС* АА1 (по следствию 2)

SАВС =1/2 ВА* АС *cosА=1/2 ВА*АС АС= ?ВС2- АВ2 АС=12см. SАВС=1/2 35*12=210(см2)

V=SАВС*АА1 V=210*11=2310(см3)

А

Ответ: V= 2310 (см3)

А1

Свойство объемов

№1.

Равные тела имеют равные объемы

Свойство объемов №2

Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел.

Свойство объемов №3

Если одно тело содержит другое, то объем первого тела не меньше объема второго.

Реши задачу

5.

3

2

Реши задачу

По рис. Найти V тела

Ответ: 24 ед2.

Домашнее задание

П. 74, 75, № 656, 658, 648, 649.