Задачи на площадь круга

Площадь круга

Для нахождения площади круга рассмотрим правильные многоугольники, вписанные в соответствующую окружность. При увеличении числа сторон многоугольники приближаются к окружности. Поэтому площадью круга считают число, к которому приближаются площади вписанных правильных многоугольников при увеличении числа их сторон.

Теорема. Площадь круга равна половине произведения длины его окружности на радиус.

Таким образом, площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле

Площадь сектора

Круговым сектором, или просто сектором, называется общая часть круга и центрального угла с вершиной в центре этого круга.

Площадь сегмента

Круговым сегментом, или просто сегментом, называется часть круга, отсекаемая от него какой-нибудь хордой.

Площадь сегмента, ограниченного хордой AB, можно найти как разность площади сектора OAB и площади треугольника OAB. Пусть центральный угол равен ?, радиус круга R. Тогда площадь сектора равна Площадь треугольника равна Поэтому площадь сегмента будет выражаться формулой: Sсегмента = Sсектора – SOAB = = -

Что считается площадью круга

Вопрос 1.

Что считается площадью круга?

Площадью круга считают число, к которому приближаются площади вписанных правильных многоугольников при увеличении числа их сторон.

Площадь круга радиуса R

Вопрос 2.

Чему равна площадь круга радиуса R?

Площадь круга равна половине произведения длины его окружности на радиус.

Фигура называется

Вопрос 3.

Какая фигура называется круговым сектором?

Круговым сектором называется общая часть круга и центрального угла с вершиной в центре этого круга.

Площадь кругового сектора

Вопрос 4.

Чему равна площадь кругового сектора?

Часть круга

Вопрос 5.

Какая фигура называется круговым сегментом?

Круговым сегментом называется часть круга, отсекаемая от него какой-нибудь хордой.

Как вычисляется площадь сегмента

Вопрос 6.

Как вычисляется площадь сегмента?

Найдите площадь круга

Упражнение 1.

Найдите площадь круга, изображенного на рисунке. Стороны квадратных клеток равны 1.

Ответ: 8?.

Вычислите площадь круга

Упражнение 2.

Вычислите площадь круга, диаметр которого равен: а) 4 см; б) 10 м.

Ответ: а) 4? см2;

Б) 25? м2.

Длина окружности

Упражнение 3.

Найдите площадь круга, длина окружности которого равна 1 м.

Радиус круга

Упражнение 4.

Вычислите радиус круга, площадь которого равна: а) 4 см2; б) 16 м2.

Радиус

Упражнение 5.

Во сколько раз увеличится площадь круга, если его радиус увеличить: а) в 2 раза; б) в 3 раза?

Ответ: а) в 4 раза;

Б) в 9 раз.

Площадь кругового кольца

Упражнение 6.

Найдите площадь кругового кольца, заключенного между двумя концентрическими окружностями радиусами a и b, где a < b.

Ответ: ?(b2 – a2).

Стороны квадратных клеток

Упражнение 7.

Найдите площадь кругового кольца, изображенного на рисунке. Стороны квадратных клеток равны 1.

Ответ: 8?.

Площадь кругового сектора, изображенного на рисунке

Упражнение 8.

Найдите площадь кругового сектора, изображенного на рисунке. Стороны квадратных клеток равны 1.

Ответ: 8?.

Найдите площадь круга, описанного около прямоугольника

Упражнение 9.

Найдите площадь круга, описанного около прямоугольника со сторонами а и b.

Найдите площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник

Упражнение 10.

Найдите площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник со стороной а.

Площадь круга, описанного около квадрата

Упражнение 11.

Во сколько раз площадь круга, описанного около квадрата, больше площади круга, вписанного в этот квадрат?

Ответ: В два раза.

Радиус окружности

Упражнение 12.

Найдите радиус окружности, которая делит круг радиуса R на две равновеликие части - кольцо и круг.

Нарисуйте круг

Упражнение 13.

На клетчатой бумаге нарисуйте круг с центром в точке O, площадь которого в два раза меньше площади круга, изображенного на рисунке.

Площадь сектора круга

Упражнение 14.

Найдите площадь сектора круга радиуса R, если соответствующий этому сектору центральный угол равен: а) 60°; б) 40°; в) 150°.

Длина дуги

Упражнение 15.

Найдите площадь сектора круга радиуса 3, длина дуги которого равна 4.

Ответ: 6.

Площадь сегмента, изображенного на рисунке

Упражнение 16.

Найдите площадь сегмента, изображенного на рисунке. Стороны квадратных клеток равны 1.

Ответ: 8(? – 2).

Площадь части круга

Упражнение 17.

Найдите площадь части круга, расположенной вне вписанного в этот круг: а) квадрата; б) правильного треугольника; в) правильного шестиугольника. Радиус круга равен R.

Площади заштрихованных фигур

Упражнение 18.

Найдите площади заштрихованных фигур.

Окружность

Упражнение 19.

Около правильного многоугольника со стороной а описана окружность, в многоугольник вписана другая окружность. Найдите площадь образовавшегося кольца.

Площадь полукруга

Упражнение 20.

Верно ли, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.

Ответ: Да.

Площадь фигуры

Упражнение 21.

Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке, если d = 1 см, а = 2 см, b = 6 см.

Вершины

Упражнение 22.

У ломаной АВСDE все вершины принадлежат окружности радиуса 1. Углы в вершинах В, С и D равны 45°. Найдите площадь заштрихованной части круга.

Заштрихованная фигура

Упражнение 23.

На рисунке заштрихованная фигура состоит из четырех, так называемых, луночек Гиппократа. Найдите ее площадь, если сторона квадрата ABCD равна 1.

Ответ: 1.

Найдите площади заштрихованных фигур

Упражнение 24.

Найдите площади заштрихованных фигур на рисунке. Радиусы окружностей равны 1.