№ | Слайд | Текст |
1 |
 |
Многоугольники, вписанные в окружностьМногоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности. Окружность при этом называется описанной около многоугольника. |
2 |
 |
Около всякого треугольника можно описать окружность Теорема 1. Около всякого треугольника можно описать окружность. Ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. |
3 |
 |
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность Теорема 2. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность. |
4 |
 |
Теорема3. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180о. |
5 |
 |
Какой многоугольник называется вписанным Вопрос 1. Какой многоугольник называется вписанным в окружность? Ответ: Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности. |
6 |
 |
Какая окружность называется описанной Вопрос 2. Какая окружность называется описанной около многоугольника? Ответ: Окружность называется описанной около многоугольника, если ей принадлежат все вершины этого многоугольника. |
7 |
 |
Около всякого ли треугольника можно описать окружность Вопрос 3. Около всякого ли треугольника можно описать окружность? Ответ: Да. |
8 |
 |
Центр описанной около треугольника окружности Вопрос 4. Где находится центр описанной около треугольника окружности? Ответ: Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. |
9 |
 |
Можно ли описать окружность около правильного многоугольника Вопрос 5. Можно ли описать окружность около правильного многоугольника? Ответ: Да. |
10 |
 |
Центр окружности Упражнение 1. Укажите центр окружности, описанной около прямоугольника ABCD. |
11 |
 |
Укажите центр окружности, описанной около треугольника Упражнение 2. Укажите центр окружности, описанной около треугольника ABC. |
12 |
 |
Укажите центр окружности Упражнение 3. Укажите центр окружности, описанной около треугольника ABC. |
13 |
 |
Укажите центр окружности, описанной около многоугольника Упражнение 4. Укажите центр окружности, описанной около многоугольника ABCDEFGH. |
14 |
 |
Укажите центр окружности, описанной около трапеции Упражнение 5. Укажите центр окружности, описанной около трапеции ABCD. |
15 |
 |
Упражнение 6Может ли центр описанной около треугольника окружности находиться: а) внутри треугольника; б) на стороне треугольника; в) вне этого треугольника? Ответ: а) Да; Б) да; В) да. |
16 |
 |
Постройте окружность Упражнение 7. С помощью циркуля и линейки постройте окружность, описанную около треугольника со сторонами 4 см, 5 см, 6 см. |
17 |
 |
Упражнение 8С помощью циркуля и линейки постройте окружность, описанную около треугольника со сторонами 3 см, 4 см, 5 см. |
18 |
 |
Упражнение 9С помощью циркуля и линейки постройте окружность, описанную около треугольника со сторонами 2 см, 3 см, 4 см. |
19 |
 |
Постройте треугольник Упражнение 10. Постройте треугольник ABC по двум данным сторонам AB = c, AC = b и радиусу R описанной окружности. |
20 |
 |
Упражнение 11Постройте треугольник ABC по данным стороне AB = c, углу A и радиусу R описанной окружности. |
21 |
 |
Всегда ли можно ли описать окружность Упражнение 12. Всегда ли можно ли описать окружность около: а) прямоугольника; б) параллелограмма; в) ромба; г) квадрата; д) равнобедренной трапеции; е) прямоугольной трапеции? Ответ: а) Да; Б) нет; В) нет; Г) да; Д) да; Е) нет. |
22 |
 |
Можно ли описать окружность около четырехугольника Упражнение 13. Можно ли описать окружность около четырехугольника, углы которого последовательно равны: а) 70о, 130о, 110о, 50о; б) 90о, 90о, 60о, 120о; в) 45о, 75о, 135о, 105о; г) 40о, 125о, 55о, 140о? Ответ: а) Да; Б) нет; В) да; Г) нет. |
23 |
 |
Упражнение 14Где находится центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника? Ответ: В середине гипотенузы. |
24 |
 |
Гипотенуза прямоугольного треугольника Упражнение 15. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см. Найдите радиус описанной окружности. Ответ: 5 см. |
25 |
 |
Упражнение 16Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 30о. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Ответ: 1. |
26 |
 |
Найдите угол треугольника Упражнение 17. Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ: 30о. |
27 |
 |
Найдите сторону Упражнение 18. Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 3, равен 30о. Найдите сторону AB этого треугольника, противолежащую данному углу. Ответ: 3. |
28 |
 |
Найдите радиус окружности Упражнение 19. Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 120о. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Ответ: 1. |
29 |
 |
Найдите угол Упражнение 20. Сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ: 150о. |
30 |
 |
Найдите углы Упражнение 21. Найдите углы вписанного в окружность равнобедренного треугольника, боковая сторона которого стягивает дугу в 24о51'. Ответ: 12о25'30", 12о25'30", 155о9'. |
31 |
 |
Упражнение 22Найдите углы вписанного в окружность равнобедренного треугольника, если его основание стягивает дугу в 100о. |
32 |
 |
Два угла треугольника Упражнение 23. Два угла треугольника равны 60о и 40о. Под какими углами видны его стороны из центра описанной около него окружности? Ответ: 120о, 80о и 160о. |
33 |
 |
Найдите больший угол треугольника Упражнение 24. Точки А, В, С, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника АВС. Ответ: 100о. |
34 |
 |
Найдите углы треугольника Упражнение 25. Точки А, В, С, расположенные на окружности, делят эту окружность на три дуги, градусные величины которых относятся как 2 : 3 : 7. Найдите углы треугольника АВС. Ответ: 30о, 45о и 105о. |
35 |
 |
Упражнение 26Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58о. Найдите угол С этого четырехугольника. Ответ: 122о. |
36 |
 |
Стороны четырехугольника Упражнение 27. Стороны четырехугольника ABCD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95о, 49о, 71о, 145о. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ: 108о. |
37 |
 |
Точки А, В, С, D, расположенные на окружности Упражнение 28. Точки А, В, С, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги, градусные величины которых относятся как 4:2:3:6. Найдите угол A четырехугольника АВСD. Ответ: 60о. |
38 |
 |
Упражнение 29Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 80о и 60о. Найдите два других угла четырехугольника. Ответ: 100о и 120о. |
39 |
 |
Найдите угол D Упражнение 30. Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 2:3:4. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ: 90о. |
40 |
 |
Четырехугольник ABCD вписан в окружность Упражнение 31. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105о, угол CAD равен 35о. Найдите угол ABD. Ответ: 70о. |
41 |
 |
Упражнение 32Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75о, угол CAD равен 35о. Найдите угол ABC. Ответ: 110о. |
42 |
 |
Упражнение 33Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110о, угол ABD равен 70о. Найдите угол CAD. Ответ: 40о. |
43 |
 |
Упражнение 34Углы треугольника равны 30о, 65о и 85о. Какая из сторон треугольника расположена дальше от центра описанной окружности? Ответ: Против угла в 30о. |
44 |
 |
Найдите диагональ Упражнение 35. Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность радиуса 6 см. Ответ: 12 см. |
45 |
 |
Сторона правильного шестиугольника Упражнение 36. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R? Ответ: R. |
46 |
 |
Боковая сторона равнобедренного треугольника Упражнение 37. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120о. Найдите диаметр описанной окружности. Ответ: 2. |
47 |
 |
Меньшая сторона прямоугольника Упражнение 38. Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см. Угол между диагоналями равен 60о. Найдите радиус описанной окружности. Ответ: 5 см. |
48 |
 |
Около трапеции описана окружность Упражнение 39. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 20 см, средняя линия 5 см. Найдите боковые стороны трапеции. Ответ: 5 см. |
49 |
 |
Боковая сторона равнобедренной трапеции Упражнение 40. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию. Угол при основании равен 60о. Где расположен центр описанной около данной трапеции окружности? Ответ: В середине большего основания. |
50 |
 |
Радиус окружности Упражнение 41. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC, если стороны квадратных клеток равны 1. Ответ: 2,5. |
51 |
 |
Стороны квадратных клеток Упражнение 42. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1. Ответ: 2,5. |
52 |
 |
Можно ли описать окружность около пятиугольника Упражнение 43*. Можно ли описать окружность около пятиугольника с углами 80о, 90о, 100о, 130о, 140о? Из этого вытекает, что сумма любых двух несоседних углов любого вписанного пятиугольника больше 180о. Указанные в задаче углы не удовлетворяют этому условию, и, значит, около такого пятиугольника нельзя описать окружность. |
53 |
 |
Упражнение 44*Докажите, что если сумма любых двух несоседних углов пятиугольника ABCDE больше 180о, то существует пятиугольник с такими же углами, около которого можно описать окружность. |
54 |
 |
Можно ли описать окружность около шестиугольника Упражнение 45*. Можно ли описать окружность около шестиугольника с углами 100о, 110о, 120о, 120о, 130о, 140о? Решение. Заметим, что сумма любых трех несоседних углов вписанного шестиугольника равна 360о. Указанные в задаче углы не удовлетворяют этому условию, и, значит, около такого шестиугольника нельзя описать окружность. |
55 |
 |
Четыре последовательных угла Упражнение 46*. Четыре последовательных угла вписанного шестиугольника равны 100о, 110о, 120о, 120о. Найдите оставшиеся два угла. Ответ. 140о и 130о. |
56 |
 |
Упражнение 47*Докажите, что сумма любых трех несоседних углов вписанного семиугольника больше 360о. Решение. Угол A опирается на всю окружность без дуги BG. Угол C опирается на всю окружность без дуги BD. Угол E опирается на всю окружность без дуги DF. В сумме эти углы опираются на более чем две окружности. Следовательно, их сумма больше 360о. |
«Задачи по вписанной и описанной окружности» |
http://900igr.net/prezentatsii/geometrija/Zadachi-po-vpisannoj-i-opisannoj-okruzhnosti/Zadachi-po-vpisannoj-i-opisannoj-okruzhnosti.html