Задачи по вписанной и описанной окружности

Многоугольники, вписанные в окружность

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности. Окружность при этом называется описанной около многоугольника.

Около всякого треугольника можно описать окружность

Теорема 1.

Около всякого треугольника можно описать окружность. Ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Теорема 2.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Теорема

3.

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180о.

Какой многоугольник называется вписанным

Вопрос 1.

Какой многоугольник называется вписанным в окружность?

Ответ: Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности.

Какая окружность называется описанной

Вопрос 2.

Какая окружность называется описанной около многоугольника?

Ответ: Окружность называется описанной около многоугольника, если ей принадлежат все вершины этого многоугольника.

Около всякого ли треугольника можно описать окружность

Вопрос 3.

Около всякого ли треугольника можно описать окружность?

Ответ: Да.

Центр описанной около треугольника окружности

Вопрос 4.

Где находится центр описанной около треугольника окружности?

Ответ: Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Можно ли описать окружность около правильного многоугольника

Вопрос 5.

Можно ли описать окружность около правильного многоугольника?

Ответ: Да.

Центр окружности

Упражнение 1.

Укажите центр окружности, описанной около прямоугольника ABCD.

Укажите центр окружности, описанной около треугольника

Упражнение 2.

Укажите центр окружности, описанной около треугольника ABC.

Укажите центр окружности

Упражнение 3.

Укажите центр окружности, описанной около треугольника ABC.

Укажите центр окружности, описанной около многоугольника

Упражнение 4.

Укажите центр окружности, описанной около многоугольника ABCDEFGH.

Укажите центр окружности, описанной около трапеции

Упражнение 5.

Укажите центр окружности, описанной около трапеции ABCD.

Упражнение 6

Может ли центр описанной около треугольника окружности находиться: а) внутри треугольника; б) на стороне треугольника; в) вне этого треугольника?

Ответ: а) Да;

Б) да;

В) да.

Постройте окружность

Упражнение 7.

С помощью циркуля и линейки постройте окружность, описанную около треугольника со сторонами 4 см, 5 см, 6 см.

Упражнение 8

С помощью циркуля и линейки постройте окружность, описанную около треугольника со сторонами 3 см, 4 см, 5 см.

Упражнение 9

С помощью циркуля и линейки постройте окружность, описанную около треугольника со сторонами 2 см, 3 см, 4 см.

Постройте треугольник

Упражнение 10.

Постройте треугольник ABC по двум данным сторонам AB = c, AC = b и радиусу R описанной окружности.

Упражнение 11

Постройте треугольник ABC по данным стороне AB = c, углу A и радиусу R описанной окружности.

Всегда ли можно ли описать окружность

Упражнение 12.

Всегда ли можно ли описать окружность около: а) прямоугольника; б) параллелограмма; в) ромба; г) квадрата; д) равнобедренной трапеции; е) прямоугольной трапеции?

Ответ: а) Да;

Б) нет;

В) нет;

Г) да;

Д) да;

Е) нет.

Можно ли описать окружность около четырехугольника

Упражнение 13.

Можно ли описать окружность около четырехугольника, углы которого последовательно равны: а) 70о, 130о, 110о, 50о; б) 90о, 90о, 60о, 120о; в) 45о, 75о, 135о, 105о; г) 40о, 125о, 55о, 140о?

Ответ: а) Да;

Б) нет;

В) да;

Г) нет.

Упражнение 14

Где находится центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника?

Ответ: В середине гипотенузы.

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Упражнение 15.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см. Найдите радиус описанной окружности.

Ответ: 5 см.

Упражнение 16

Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 30о. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ: 1.

Найдите угол треугольника

Упражнение 17.

Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне.

Ответ: 30о.

Найдите сторону

Упражнение 18.

Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 3, равен 30о. Найдите сторону AB этого треугольника, противолежащую данному углу.

Ответ: 3.

Найдите радиус окружности

Упражнение 19.

Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 120о. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ: 1.

Найдите угол

Упражнение 20.

Сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C.

Ответ: 150о.

Найдите углы

Упражнение 21.

Найдите углы вписанного в окружность равнобедренного треугольника, боковая сторона которого стягивает дугу в 24о51'.

Ответ: 12о25'30", 12о25'30", 155о9'.

Упражнение 22

Найдите углы вписанного в окружность равнобедренного треугольника, если его основание стягивает дугу в 100о.

Два угла треугольника

Упражнение 23.

Два угла треугольника равны 60о и 40о. Под какими углами видны его стороны из центра описанной около него окружности?

Ответ: 120о, 80о и 160о.

Найдите больший угол треугольника

Упражнение 24.

Точки А, В, С, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника АВС.

Ответ: 100о.

Найдите углы треугольника

Упражнение 25.

Точки А, В, С, расположенные на окружности, делят эту окружность на три дуги, градусные величины которых относятся как 2 : 3 : 7. Найдите углы треугольника АВС.

Ответ: 30о, 45о и 105о.

Упражнение 26

Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58о. Найдите угол С этого четырехугольника.

Ответ: 122о.

Стороны четырехугольника

Упражнение 27.

Стороны четырехугольника ABCD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95о, 49о, 71о, 145о. Найдите угол B этого четырехугольника.

Ответ: 108о.

Точки А, В, С, D, расположенные на окружности

Упражнение 28.

Точки А, В, С, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги, градусные величины которых относятся как 4:2:3:6. Найдите угол A четырехугольника АВСD.

Ответ: 60о.

Упражнение 29

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 80о и 60о. Найдите два других угла четырехугольника.

Ответ: 100о и 120о.

Найдите угол D

Упражнение 30.

Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 2:3:4. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность.

Ответ: 90о.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность

Упражнение 31.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105о, угол CAD равен 35о. Найдите угол ABD.

Ответ: 70о.

Упражнение 32

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75о, угол CAD равен 35о. Найдите угол ABC.

Ответ: 110о.

Упражнение 33

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110о, угол ABD равен 70о. Найдите угол CAD.

Ответ: 40о.

Упражнение 34

Углы треугольника равны 30о, 65о и 85о. Какая из сторон треугольника расположена дальше от центра описанной окружности?

Ответ: Против угла в 30о.

Найдите диагональ

Упражнение 35.

Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность радиуса 6 см.

Ответ: 12 см.

Сторона правильного шестиугольника

Упражнение 36.

Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R?

Ответ: R.

Боковая сторона равнобедренного треугольника

Упражнение 37.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120о. Найдите диаметр описанной окружности.

Ответ: 2.

Меньшая сторона прямоугольника

Упражнение 38.

Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см. Угол между диагоналями равен 60о. Найдите радиус описанной окружности.

Ответ: 5 см.

Около трапеции описана окружность

Упражнение 39.

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 20 см, средняя линия 5 см. Найдите боковые стороны трапеции.

Ответ: 5 см.

Боковая сторона равнобедренной трапеции

Упражнение 40.

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию. Угол при основании равен 60о. Где расположен центр описанной около данной трапеции окружности?

Ответ: В середине большего основания.

Радиус окружности

Упражнение 41.

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC, если стороны квадратных клеток равны 1.

Ответ: 2,5.

Стороны квадратных клеток

Упражнение 42.

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.

Ответ: 2,5.

Можно ли описать окружность около пятиугольника

Упражнение 43*.

Можно ли описать окружность около пятиугольника с углами 80о, 90о, 100о, 130о, 140о?

Из этого вытекает, что сумма любых двух несоседних углов любого вписанного пятиугольника больше 180о. Указанные в задаче углы не удовлетворяют этому условию, и, значит, около такого пятиугольника нельзя описать окружность.

Упражнение 44*

Докажите, что если сумма любых двух несоседних углов пятиугольника ABCDE больше 180о, то существует пятиугольник с такими же углами, около которого можно описать окружность.

Можно ли описать окружность около шестиугольника

Упражнение 45*.

Можно ли описать окружность около шестиугольника с углами 100о, 110о, 120о, 120о, 130о, 140о?

Решение. Заметим, что сумма любых трех несоседних углов вписанного шестиугольника равна 360о. Указанные в задаче углы не удовлетворяют этому условию, и, значит, около такого шестиугольника нельзя описать окружность.

Четыре последовательных угла

Упражнение 46*.

Четыре последовательных угла вписанного шестиугольника равны 100о, 110о, 120о, 120о. Найдите оставшиеся два угла.

Ответ. 140о и 130о.

Упражнение 47*

Докажите, что сумма любых трех несоседних углов вписанного семиугольника больше 360о.

Решение. Угол A опирается на всю окружность без дуги BG. Угол C опирается на всю окружность без дуги BD. Угол E опирается на всю окружность без дуги DF. В сумме эти углы опираются на более чем две окружности. Следовательно, их сумма больше 360о.