Задания на симметрию

Центральная симметрия

Фигура Ф в пространстве называется центрально-симметричной относительно точки O, если каждая точка A фигуры Ф симметрична относительно точки O некоторой точке A' фигуры Ф.

Например, прямоугольный параллелепипед центрально-симметричен относительно точки пересечения его диагоналей. Шар центрально-симметричен относительно своего центра и т. д.

Точки A и A' пространства называются симметричными относительно точки O, называемой центром симметрии, если O является серединой отрезка AA'. Точка O считается симметричной сама себе.

Осевая симметрия

Фигура Ф в пространстве называется симметричной относительно оси a, если каждая точка A фигуры Ф симметрична относительно этой оси некоторой точке A' фигуры Ф.

Например, прямоугольный параллелепипед симметричен относительно оси, проходящей через центры противоположных граней, прямой круговой цилиндр симметричен относительно своей оси и т. д.

Точки A и A' пространства называются симметричными относительно прямой a, называемой осью симметрии, если прямая a проходит через середину отрезка AA' и перпендикулярна этому отрезку. Точки прямой a считаются симметричными сами себе.

Зеркальная симметрия

Фигура Ф в пространстве называется зеркально-симметричной относительно плоскости ?, если каждая точка A фигуры Ф симметрична относительно этой плоскости некоторой точке A' фигуры Ф.

Например, прямоугольный параллелепипед зеркально-симметричен относительно плоскости, проходящей через ось симметрии и параллельной одной из граней. Цилиндр зеркально-симметричен относительно любой плоскости, проходящей через его ось и т. д.

Точки A и A' в пространстве называются симметричными относительно плоскости ?, называемой плоскостью симметрии, если эта плоскость проходит через середину отрезка AA' и перпендикулярна к нему. Точки плоскости ? считаются симметричными сами себе. Симметрия относительно плоскости называется также зеркальной симметрией.

Симметрия

n-го порядка.

Прямая a называется осью симметрии n-го порядка фигуры Ф, если при повороте фигуры Ф на угол вокруг прямой a фигура Ф совмещается сама с собой.

Ясно, что ось симметрии 2-го порядка является просто осью симметрии.

Например, в правильной n-угольной пирамиде прямая, проходящая через вершину и центр основания, является осью симметрии n-го порядка.

Примеры центрально-симметричных и не центрально-симметричных фигур

Упражнение 1.

Приведите примеры центрально-симметричных и не центрально-симметричных фигур.

Ответ: Центрально-симметричные: куб, прямоугольный параллелепипед, шар и др.; не центрально-симметричные: пирамида, конус и др.

Центр симметрии

Упражнение 2.

Может ли центр симметрии фигуры не принадлежать ей?

Ответ: Да.

Фигура

Упражнение 3.

Может ли фигура иметь более одного центра симметрии?

Ответ: Да, например, прямая, плоскость и т.д. имеют бесконечно много центров симметрии.

Два центра симметрии

Упражнение 4.

Может ли фигура иметь ровно два центра симметрии?

Правильный тетраэдр

Упражнение 5.

Имеет ли центр симметрии: а) правильный тетраэдр; б) куб; в) октаэдр; г) икосаэдр; д) додекаэдр?

Ответ: а) Нет;

Б) да;

В) да;

Г) да;

Д) да.

Пятиугольная призма

Упражнение 6.

Имеет ли центр симметрии правильная пятиугольная призма?

Ответ: Нет.

Пятиугольная антипризма

Упражнение 7.

Имеет ли центр симметрии правильная пятиугольная антипризма?

Ответ: Да.

Усеченный тетраэдр

Упражнение 8.

Имеет ли центр симметрии: а) усеченный тетраэдр; б) усеченный куб; в) усеченный октаэдр; г) усеченный икосаэдр; д) усеченный додекаэдр?

Ответ: а) Нет;

Б) да;

В) да;

Г) да;

Д) да.

Кубооктаэдр

Упражнение 9.

Имеет ли центр симметрии: а) кубооктаэдр; б) икосододекаэдр?

Ответ: а) Да;

Б) да.

Усеченный кубооктаэдр

Упражнение 10.

Имеет ли центр симметрии: а) усеченный кубооктаэдр; б) усеченный икосододекаэдр?

Ответ: а) Да;

Б) да.

Ромбокубооктаэдр

Упражнение 11.

Имеет ли центр симметрии: а) ромбокубооктаэдр; б) ромбоикосододекаэдр?

Ответ: а) Да;

Б) да.

Курносый куб

Упражнение 12.

Имеет ли центр симметрии: а) курносый куб; б) курносый додекаэдр?

Ответ: а) Нет;

Б) нет.

Прямоугольный параллелепипед

Упражнение 13.

Сколько осей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед, гранями которого не являются квадраты?

Ответ: 3.

Грани

Упражнение 14.

Сколько осей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед, две грани которого являются квадратами?

Ответ: 5.

Сколько осей симметрии имеет шар

Упражнение 15.

Сколько осей симметрии имеет шар?

Ответ: Бесконечно много.

Примеры пространственных фигур

Упражнение 16.

Приведите примеры пространственных фигур с осями симметрии 3-го, 4-го и т. д. порядков.

Ответ: Правильные 3-угольные, 4-угольные пирамиды.

Оси симметрии

Упражнение 17.

Какие оси симметрии имеет правильная пятиугольная призма?

Ответ: Пять осей симметрии второго порядка и одну ось симметрии пятого порядка.

Правильная пятиугольная антипризма

Упражнение 18.

Какие оси симметрии имеет правильная пятиугольная антипризма?

Ответ: Нет.

Тетраэдр

Упражнение 19.

Какие оси симметрии имеет тетраэдр?

Ответ: 4 оси симметрии третьего порядка, проходящих через вершины и центры противоположных граней; 3 оси симметрии, проходящих через середины противоположных ребер.

Куб

Упражнение 20.

Какие оси симметрии имеет куб?

Ответ: 4 оси симметрии третьего порядка, проходящих через противоположные вершины; 6 осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер; 3 оси симметрии четвертого порядка, проходящих через центры противоположных граней.

Октаэдр

Упражнение 21.

Какие оси симметрии имеет октаэдр?

Ответ: 3 оси симметрии четвертого порядка, проходящих через противоположные вершины; 6 осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер; 4 оси симметрии третьего порядка, проходящих через центры противоположных граней.

Икосаэдр

Упражнение 22.

Какие оси симметрии имеет икосаэдр?

Ответ: 6 осей симметрии пятого порядка, проходящих через противоположные вершины; 15 осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер; 10 осей симметрии третьего порядка, проходящих через центры противоположных граней.

Додекаэдр

Упражнение 23.

Какие оси симметрии имеет додекаэдр?

Ответ: 10 осей симметрии третьего порядка, проходящих через противоположные вершины; 15 осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер; 6 осей симметрии пятого порядка, проходящих через центры противоположных граней.

Какие оси симметрии имеет кубооктаэдр

Упражнение 24.

Какие оси симметрии имеет кубооктаэдр?

Ответ: 6 осей симметрии, проходящих через противоположные вершины; 4 оси симметрии третьего порядка, проходящих через центры противоположных треугольных граней; 3 оси симметрии четвертого порядка, проходящих через центры противоположных квадратных граней.

Икосододекаэдр

Упражнение 25.

Какие оси симметрии имеет икосододекаэдр?

Ответ: 15 осей симметрии, проходящих через противоположные вершины; 10 осей симметрии третьего порядка, проходящих через центры противоположных треугольных граней; 6 осей симметрии пятого порядка, проходящих через центры противоположных пятиугольных граней.

Наклонный параллелепипед

Упражнение 26.

Приведите пример фигуры, имеющей центр симметрии, но не имеющей оси симметрии.

Ответ: Наклонный параллелепипед.

Правильная четырехугольная пирамида

Упражнение 27.

Приведите пример фигуры, имеющей ось симметрии, но не имеющей центра симметрии.

Ответ: Правильная четырехугольная пирамида.

Плоскости симметрии

Упражнение 28.

Укажите центр, оси и плоскости симметрии фигуры, состоящей из двух пересекающихся прямых.

Ответ: Центр симметрии – точка пересечения данных прямых. Оси симметрии – две прямые, содержащие биссектрисы углов, образованные данными прямыми, и прямая, проходящая через точку пересечения данных прямых и перпендикулярная их плоскости. Если данные прямые перпендикулярны, то сами они также являются осями симметрии. Плоскости симметрии: плоскость данных прямых и две плоскости, проходящие через биссектрисы углов, образованные данными прямыми и перпендикулярные их плоскости.

Квадраты

Упражнение 29.

Сколько плоскостей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед, гранями которого не являются квадраты?

Ответ: 3.

Правильная шестиугольная призма

Упражнение 30.

Сколько плоскостей симметрии имеет правильная шестиугольная призма?

Ответ: 7.

Упражнение 31

Сколько плоскостей симметрии имеет: а) правильный тетраэдр; б) куб; в) октаэдр; г) икосаэдр; д) додекаэдр?

Ответ: а) 6;

Б) 9;

В) 9;

Г) 15;

Д) 15.

Упражнение 32

Сколько плоскостей симметрии имеет кубооктаэдр?

Ответ: 9.

Упражнение 33

Сколько плоскостей симметрии имеет икосододекаэдр?

Ответ: 15.

Приведите примеры пространственных фигур

Упражнение 34.

Приведите примеры пространственных фигур, у которых есть ось симметрии, но нет плоскости симметрии и, наоборот, есть плоскость симметрии, но нет оси симметрии.

Ответ: Пирамида, в основании которой параллелограмм, может иметь ось симметрии, но не имеет плоскости симметрии. Правильная треугольная пирамида имеет плоскости симметрии, но не имеет осей симметрии.