Позиционные и непозиционные системы счисления

Системы счисления

Основные определения, виды, свойства.

Определения

СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ - совокупность приемов и правил для записи чисел. Коэффициенты - знаки (цифры), используемые для записи чисел. Наиболее известна десятичная система счисления, в которой для записи чисел используются цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Способов записи чисел цифровыми знаками существует бесчисленное

множество. Любая предназначенная для практического применения система счисления должна обеспечивать: возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин; единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина); простоту оперирования числами.

Свойства систем счисления

Все системы представления чисел делят на позиционные и непозиционные. Непозиционная система счисления - система, для которой значение символа не зависит от его положения в числе. Непозиционные система счисления в настоящее время используются редко, в основном для целей нумерации. Примером такой системы является римская система счисления с цифрами: Десятичные цифры 1 5 10 50 100 500 1000 и т. д. Римские цифры I V X L C D M и т. д. Несколько стоящих рядом одинаковых цифр суммируются: ХХХ =Х +Х +Х= 30. Если рядом стоят две разные цифры, причем младшая - справа от старшей, то они также суммируются: XVI= X+ V+ I= 16; если же младшая цифра находится слева от старшей, то она вычитается из этой старшей цифры: IX= X- I= 9. Например, MCMLXV= 1965; MMDCLIII= 2653.

Основные недостатки непозиционных систем счисления:

Теоретически имеют бесконечное количество цифр; Арифметические действия над числами в них очень сложны. Например, умножить: XXXII и XXIV. Поэтому преимущественное применение получили позиционные системы счисления.

Определение позиционной системы счисления

Позиционными называются такие системы, в которых значение каждой цифры находится в строгой зависимости от ее позиции в числе. Например, 222 - первая цифра справа означает две единицы, соседняя с ней - два десятка, а левая - две сотни. Любая позиционная система счисления характеризуется основанием.

Основание позиционной системы счисления

Основание позиционной системы счисления - количество знаков или символов, используемых для изображения чисел в данной системе. Возможно бесчисленное множество позиционных систем, так как за основание можно принять любое число, образовав, таким образом, новую систему. Например, запись числа в шестнадцатеричной системе может производиться с помощью следующих цифр(знаков): 0,1,...,9,A,B,...,F.

Последовательность чисел, каждое из которых задает «вес»

соответствующего разряда, называется базисом позиционной системы счисления.

Развернутая форма записи чисел в позиционной системе счисления

Для позиционной системы счисления справедлива теорема: Любое число в позиционной системе можно записать в развернутой форме, через основание, причем единственным способом. Т.е.: A= anpn + an-1pn-1 + ... + a1p1 + a0p0 + a-1p-1 + ... + a-mp-m , где А- произвольное число, записанное в системе счисления с основанием р; аi- коэффициенты ряда (цифры системы счисления); n, m- количество целых и дробных разрядов. На практике используют сокращенную запись чисел: А= anan-1 ... a1a0a-1... a-m

Примеры развернутой формы записи чисел в позиционных системах

счисления.

В десятичной системе счисления числа изображаются с помощью цифр 0,1,…,9. Например, 3957,25=3*103+9*102+5*101+7*100+ 2*10-1+5*10-2 В восьмеричной системе счисления числа изображают с помощью цифр 0,1,...,7. Например, 124,5378= 1*82 + 2*81 +4*80 + 5*8-1 + 3*8-2 + 7*8-3. В двоичной системе счисления используют цифры 0, 1. Например, 1001,11012=1*23 + 0*22 + 0*21 +1*2-1 + 1*2-2 +1*2-3 +0*2-4 . Для записи чисел в троичной системе берут цифры 0, 1, 2. Например, 21223=2*33 + 1*32 + 2*31 + 2*30.